Esercizio 123 sul moto uniformemente accelerato – Esercizi svolti – FISICA

Lanci una palla verso l’alto con velocità iniziale di $2,0\:m/s$ e una palla identica con la stessa velocità iniziale ma verso il basso. Il suolo dista $1,5\:m$ dalla posizione di partenza. Calcola il tempo che entrambe impiegano ad arrivare a terra.

SVOLGIMENTO

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In entrambe le configurazioni noi conosciamo la velocità iniziale, la posizione finale e la posizione iniziale e l’accelerazione e dobbiamo calcolare il tempo necessario a compiere tale moto. Tra le formule che conosciamo la legge oraria ci permette di risolvere immediatamente questa tipologia di esercizi. Infatti la legge oraria del moto uniformemente accelerato è

$s(t)=s(0)+v(0)t+{1\over 2}at^2$

Pertanto la prima pallina, quella con velocità iniziale verso l’alto, avrà una legge oraria del tipo

$-1,5\:m=0\:m+2\:m/s\cdot t+{1\over 2}\cdot (-9,81\:m/s^2)\cdot t^2$

dove fissiamo $s=0\:m$ nel punto di partenza della pallina e $t=0\:s$ nell’istante in cui la pallina parte. Pertanto il tempo lo troviamo risolvendo l’equazione di secondo grado

$4,905\:m/s^2\cdot t^2-2\:m/s\cdot t-1,5\:m=0$

con

$\Delta=(-2\:m/s)^2-4\cdot4,905\:m/s^2\cdot(-1,5\:m)=33,43\:(m/s)^2$

da cui

$t_{1,2}={2\:m/s\pm\sqrt{33,43\:(m/s)^2}\over 9,81\;m/s^2}$

quindi $t_1\approx -0,39\:s$ e $t_2\approx 0,79\:s$ dove la soluzione negativa la dobbiamo rifiutare, quindi il tempo necessario è $0,79\:s$ . Per la seconda pallina, quella con velocità iniziale verso il basso, la legge oraria sarà

$-1,5\:m=0\:m-2\:m/s\cdot t+{1\over 2}\cdot (-9,81\:m/s^2)\cdot t^2$

dove fissiamo $s=0\:m$ nel punto di partenza della pallina e $t=0\:s$ nell’istante in cui la pallina parte. Pertanto il tempo lo troviamo risolvendo l’equazione di secondo grado

$4,905\:m/s^2\cdot t^2+2\:m/s\cdot t-1,5\:m=0$

con

$\Delta=(2\:m/s)^2-4\cdot4,905\:m/s^2\cdot(-1,5\:m)=33,43\:(m/s)^2$

da cui

$t_{1,2}={-2\:m/s\pm\sqrt{33,43\:(m/s)^2}\over 9,81\;m/s^2}$

quindi $t_1\approx -0,79\:s$ e $t_2\approx 0,39\:s$ dove anche qui dobbiamo rifiutare la soluzione negativa e pertanto il tempo necessario è $0,39\:s$ . Osserviamo esplicitamente che si può risolvere il problema anche considerando che il moto della prima pallina e il moto della seconda pallina sono profondamente legati, infatti quando la prima pallina torna al punto di partenza si trova esattamente nella configurazione della seconda pallina, abbiamo scelto di risolvere il problema utilizzando la legge oraria per fare un po’ di allenamento anche sulla risoluzione delle equazioni di secondo grado che sono argomento fondamentale del programma di seconda liceo.

Brevi lezioni

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