Esame di maturità 2025 prova di matematica – Prova svolta

Indice

Problema 1
Problema 2
Quesito 1
Quesito 2
Quesito 3
Quesito 4
Quesito 5
Quesito 6
Quesito 7
Quesito 8

Problema 1

Punto a

Per prima cosa verifichiamo la continuità della classe di funzioni $f_k$ . La funzione è continua se e solo se

$\lim_{x\to x_0} f_k(x)=x_0\Rightarrow \lim_{x\to x_0^+} f_k(x)=\lim_{x\to x_0^-} f_k(x)=x_0$

e questo deve valere per ogni punti del dominio. Pertanto quello che dobbiamo dimostrare è che per ogni $k<0$ e per ogni $x_0\in\math{R}$ vale che

$\lim_{x\to x_0^+}k |x|=\lim_{x\to x_0^-} k |x|=k |x_0|$

e questo sappiamo essere vero in quanto qualunque sia $x_0$ esisterà un intorno destro e un intorno sinistro di $x_0$ tutto dello stesso segno, pertanto la funzione valore assoluto si può togliere e la funzione identità è una funzione continua. Vediamo ora di stabilire la non derivabilità nel punto $x=0$ (lo facciamo usando un ragionamento che non ricorre alla definizione di limite del rapporto incrementale). Il valore assoluto è una funzione definita a tratti, infatti $|x|=x$ se $x\geq0$ mentre $|x|=-x$ se $x<0$ , pertanto la funzione $f_k$ è derivabile in ogni punto diverso da $x=0$ prechè le funzioni $kx$ e $-kx$ lo sono. Vediamo cosa succede nel punto $x=0$ . Anche la funzione $f'_k$ è una funzione definita a tratti, infatti $f'_k(x)=k$ se $x\geq 0$ e $f'_k(x)=-k$ se $x<0$ pertanto la derivata destra e la derivata sinistra nel punto $x=0$ non coincidono e quindi la funzione non è derivabile in quel punto. La situazione che stiamo studiando è rappresentata da questo grafico

quindi quello che ci conviene fare è calcolare l’angolo formato dalle due rette, il quale dipende dalla pendenza $k$ delle due rette, che sarà l’angolo da utilizzare nella formula del settore circolare e della lunghezza dell’arco di circonferenza. Chiamato $\alpha$ tale angolo, che tra l’altro sappiamo essere $\alpha=2\tan^{-1}{1\over k}$ , e possiamo scrivere

$A_\alpha={r^2\pi\alpha\over 2\pi}={r^2\cdot \alpha\over 2}$

$L_{contorno}=2r+{2r\pi\alpha\over 2\pi}=2r+{r\cdot \alpha$

mettendo a sistema questo due ricavando $\alpha={2\pi\over r^2}$ dalla seconda e sostituendola alla prima si ottiene

$2r^2-(4+\pi)r+2\pi=0$

$r_{1,2}={4+\pi\pm\sqrt{16+8\pi+\pi^2-16\pi}\over 4$

$r_{1,2}={4+\pi\pm(4-\pi)\over 4$

da cui vengono le due soluzioni $r=\pi/2$ e $r=2$ . Infine rappresentiamo graficamente le due funzioni richieste

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Punto b

Siamo di fronte a uno studio di funzione relativamente classico, per prima cosa quindi studiamo il dominio della funzione

$g(x)=\sqrt{4-x^2}$

sappiamo che la funzione radice quadrata ha senso solamente quando il radicando è maggiore o uguale a zero, ossia $4-x^2\geq 0$ da cui ci viene che il dominio è formato dall’intervallo $D=[-2\:;\:2]$ . Controlliamo adesso se la funzione è pari o dispari, in particolare questa è una funzione pari, ossia

$g(x)=g(-x)$

infatti

$g(x)=\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4-(-x)^2}=g(-x)$

Vediamo adesso l’intersezione con gli assi, la funzione incontra l’asse $x$ di equazione $y=0$ nei punti che risolvono l’equazione

$0=\sqrt{4-x^2}$

ossia $x=-2$ e $x=2$ , mentre incontra l’asse $y$ di equazione $x=0$ nel punto che verifica l’equazione

$y=\sqrt{4-0^2}=2$

attenzione che la radice quadrata come funzione matematica da come risultato solamente il numero positivo, quindi la soluzione è solamente $x=2$ . Studiamone ora la monotonia studiando la derivata prima della funzione $g(x)$ , quindi

$g'(x)={1\over 2}\cdot (4-x^2)^{-{1\over 2}}\cdot (-2x)=-{x\over \sqrt{4-x^2}}$

quindi, considerando che il denominatore è sempre positivo, la derivata prima sarà maggiore di zero, e quindi la funzione monotona crescente, se $x<0$ e sarà minore di zero, e quindi la funzione monotona decrescente, se $x>0$ . Nei due punti $x=-2$ e $x=2$ , che sono gli estremi del dominio, non abbiamo derivabilità perchè la derivata tende all’infinito. In conclusione dello studio di funzione tracciamo il grafico della funzione, che sarà la mezza circonferenza centrata nell’origine e di raggio $r=2$ , nel semipiano positivo delle $y$ , ossia

La funzione $g(x)$ nel suo dominio non è invertibile in quanto non è iniettiva, infatti possiamo vedere che l’insieme immagine della funzione è l’intervallo $[0\:;\:2]$ , ma il ogni numero dell’insieme immagine è raggiunto, attraverso la funzione $g$ , da due numeri (infatti abbiamo già detto che la funzione è pari). Se voglio restringere il dominio della funzione affinchè la funzione risulti anche iniettiva ci basta prendere l’intervallo $[0\:;\:2]$ , in questo intervallo la funzione è invertibile e la sua inversa è

$y=\sqrt{4-x^2}$

$y^2=4-x^2$

$x=\sqrt{4-y^2}$

ossia

$g(x)=g^{-1}(x)$

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Punto c

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Punto d

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Problema 2

Punto a

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Punto b

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Punto c

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Punto d

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Quesito 1

Prima di tutto facciamo il disegno per chiarire in che situazione ci troviamo. Pertanto

A questo punto ipotizziamo che i due segmenti all’interno del triangolo siano congruenti e verifichiamo che anche il segmento $AB$ e il segmento $AC$ devono essere congruenti. Per dimostrare ciò ci basiamo sui triangoli isosceli e sulle loro proprietà degli angoli, infatti sappiamo che un triangolo è isoscele se e solo se almeno due dei suoi angoli sono congruenti, in particolare gli angoli alla base. quindi tracciamo il segmento $B'C'$ e nominiamo gli angoli. Ossia

A questo punto dire che i due segmenti $B'M$ e $C'M$ sono congruenti equivale a dire che il triangolo $B'MC'$ è un triangolo isoscele, pertanto i due angoli alla base $C'B'M$ e $B'C'M$ sono congruenti, verifichiamo che questa ipotesi porta con se che i due angoli $ACB$ e $ABC$ sono congruenti e quindi il triangolo $ABC$ è isoscele. Per fare questo ci basta utilizzare tutti gli angoli piatti che ci sono in figura e mettere a sistema, l’unica cosa che osserviamo in maniera esplicita è che gli angoli piatti sono otto, uno per ogni triangolo rappresentato (che sono cinque) e uno per ogni angolo piatto che si forma sul lato del triangolo $ABC$ .

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Quesito 2

Si consideri la superficie sferica di equazione:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 1$

che rappresenta una sfera di centro $C = (1, 2, 0)$ e raggio $r = 1$ . Sia dato inoltre il piano $\pi$ di equazione:

$x - 2y - 2z + d = 0$

La distanza del centro della sfera $C$ dal piano $\pi$ è data da:

$d(C, \pi) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

dove $(x_0, y_0, z_0) = (1,2,0)$ e i coefficienti del piano sono $A=1$ , $B=-2$ , $C=-2$ , $D=d$ . Si ha quindi:

$d(C, \pi) = \frac{|1(1) - 2(2) - 2(0) + d|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 - 4 + d|}{\sqrt{9}} = \frac{|d - 3|}{3}$

Si possono ora discutere le varie posizioni reciproche tra il piano e la sfera:

se la distanza è minore del raggio abbiamo un piano interno, ovvero

$\frac{|d - 3|}{3} < 1$

$|d - 3| < 3 \Longrightarrow 0 < d < 6$
se la distanza è uguale al raggio abbiamo un piano tangente, ovvero

$\frac{|d - 3|}{3} = 1$

$|d - 3| = 3$

$d - 3 = 3 \Longrightarrow d = 6\lor d - 3 = -3 \Longrightarrow d = 0$
se la distanza è maggiore del raggio abbiamo un piano esterno, ovvero

$\frac{|d - 3|}{3} > 1$

$|d - 3| > 3$

$d - 3 > 3\Longrightarrow d > 6\lor d - 3 < -3\Longrightarrow d < 0$

Affinché il piano divida la sfera in due parti uguali, esso deve passare per il centro $C$ . Imponendo il passaggio del piano per il punto $(1,2,0)$ , si ottiene:

$1 - 2\cdot (2) - 2\cdot (0) + d = 0$

$1 - 4 + d = 0$

$d = 3$

Quindi, per $d=3$ il piano passa per il centro della sfera e la divide in due parti uguali.

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Quesito 3

Siamo di fronte ad un classico studio di funzione di una funzione definita a tratti. Per prima cosa l’esercizio ci chiede di studiare la continuità e la derivabilità nell’intervallo $[-1\:;\:2]$ . La funzione $-4x^2-8x$ è una funzione continua e derivabile su tutto $\math{R}$ quindi non ci crea problemi nell’intervallo $[-1\:;\: 0]$ , la funzione $1+\tan(x+{3\over 4}\pi)$ è una funzione continua e derivabili nell’intervallo $[0\:;\: 2]$ , infatti l’unico problema ce lo potrebbe dare la funzione tangente, ma la funzione tangente sull’intervallo $[{\pi\over 2}\:;\: {3\pi\over 2}]$ è continua e derivabile e quando $x$ sta in $[0\:;\:2]$ allora $x+{3\over 4}\pi$ sta in $[{\pi\over 2}\:;\: {3\pi\over 2}]$ pertanto siamo a posto. Questo ragionamento ci suggerisce che la funzione è sicuramente continua se nel punto di ascissa $x=0$ i due valori coincidono, ossia se

$-4\cdot 0^2-8\cdot 0=1+\tan(0+{3\over 4}\pi)$

e questo effettivamente è verificato perchè fanno entrambe $0$ . Per studiare la derivabilità della funzione complessiva necessitiamo che anche le derivate nel punto $x=0$ coincidano, ossia

$(-4x^2-8x)'(0)=(1+\tan(x+{3\over 4}\pi))'(0)$

$(-8x-8)(0)=(1+\tan^2(x+{3\over 4}\pi))'(0)$

$-8\cdot 0-8=1+\tan^2(0+{3\over 4}\pi)$

$-8=2$

quindi lla funzione complessiva non è derivabile nel punto $x=0$ e pertanto neanche nell’intervallo $[-1\:;\:2]$ Per quanto riguarda lo studio di funzione basta considerare che la prima parte della funzione è una parabola con concavità rivolta verso il basso, mentre la seconda parte è una funzione tangente spostata di uno verso destra e “allargata” un pochino. In definitiva il grafico viene

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Quesito 4

Troviamo per prima cosa il punto di tangenza, ossia troviamo il valore della funzione nel punto di ascissa $x=\pi/4$ , quindi

$y\left( \frac{\pi}{4} \right) = g\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin\left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right)= 2 \cdot \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cdot 1 = 2$

Quindi il punto $P$ di tangenza sarà

$P= \left( \frac{\pi}{4},\ 2 \right)$

A questo punto deriviamo la funzione, con la regola di derivazione del prodotto, per determinare la pendenza in quel punto li

$y'(x) = g'(x) \cdot \sin(2x) + g(x) \cdot \cos(2x) \cdot 2$

La valutiamo in $x = \frac{\pi}{4}$

$y'\left( \frac{\pi}{4} \right) = 2 \cdot \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + 2 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) \cdot 2 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot 2 = 2$

A questo punto determiniamo il coefficiente angolare della retta normale

$m_{\text{tangente}} = 2 \quad \Rightarrow \quad m_{\text{normale}} = -\frac{1}{2}$

Ed infine scriviamo l’equazione della retta normale

$y - 2 = -\frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 2 = -\frac{1}{2}x + \left(2 + \frac{\pi}{8}\right)$

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Quesito 5

Le condizioni di tangenza di due curve sono che abbiano lo stesso valore nel punto di contatto e che abbiamo la stessa derivata nel punto di contatto. Partiamo dalla condizione sulla derivata

$\frac{d}{dx} e^x = \frac{d}{dx} (6 - k e^{-x}) \Rightarrow e^x = k e^{-x}$

da questa possiamo ricavare la $k$ , ossia

$k = e^x \cdot e^x = e^{2x}$

A questo punto, avendo determinato $k$ , imponendo che il valore delle due funzioni debba essere lo stesso otteniamo

$e^x = 6 - k \cdot e^{-x}$

$e^x = 6 - e^{2x} \cdot e^{-x} = 6 - e^x\Rightarrow 2e^x = 6 \Rightarrow e^x = 3$

Dal quale possiamo poi ricavare il punto di tangenza

$x = \ln 3 \quad \Rightarrow \quad y = e^x = 3 \Rightarrow \text{Punto di tangenza: } (\ln 3,\, 3)$

Ed infine calcoliamo il punto $k$

$k = e^{2x} = e^{2 \ln 3} = 3^2 = 9$

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Quesito 6

Cerchiamo una funzione polinomiale $f(x)$ tale che la retta di equazione $y = 2x + 3$ sia tangente al grafico di $f$ nel punto di ascissa $x = 0$ e che si abbia:

$\int_0^3 f(x)\,dx = 9$

Affinché la retta sia tangente al grafico di $f$ in $x=0$ , devono essere verificate le seguenti condizioni:

$f(0) = 2\cdot (0) + 3 = 3$

$f'(0) = 2$

Supponiamo inizialmente che $f(x)$ possa essere un polinomio di secondo grado (se dai calcoli venisse fuori che non è così la ipotizzeremo di grado tre, poi di grado 4 e così via):

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Applicando le condizioni sopra:

$f(0) = c = 3$

$f'(x) = 2a x + b \Longrightarrow f'(0) = b = 2$

Quindi $b = 2, c = 3$ , da cui

$f(x) = ax^2 + 2x + 3$

Imponiamo ora la condizione sull’integrale:

$\int_0^3 f(x)\,dx = \int_0^3 \left( ax^2 + 2x + 3 \right) dx = 9$

$= a \cdot \frac{3^3}{3} + 2 \cdot \frac{3^2}{2} + 3 \cdot 3 = 9a + 9 + 9 = 9a + 18$

$9a + 18 = 9 \quad \Longrightarrow \quad 9a = -9 \quad \Longrightarrow \quad a = -1$

Pertanto la funzione cercata è:

$f(x) = -x^2 + 2x + 3$

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Quesito 7

Il colpo di Venere consiste nell’ottenere quattro risultati tutti diversi, siccome ogni dado ha quattro esiti possibili lanciando quattro dadi si possono ottenere

$esiti\:totali=4^4=256$

Per calcolare gli esiti in cui i quattro dadi mostrano tutti facce diverse bisogna contare le disposizioni di quattro numeri distinti in cui vogliamo che ogni numero esca una volta sola, ossia dobbiamo permutare quattro elementi, da cui

$esiti\:favorevoli=4!=24$

da cui

$P(colpo\:di\:Venere)={4!\over 4^4}={3\over 32}$

La probabilità che invece siano tutti numeri diversi la calcoliamo sempre con casi favorevoli fratto casi possibili osservando che i casi favorevoli sono solamente quattro, ossia quello in cui tutte le facce mostrano il numero 1, tutte le facce mostrano il numero 2, tutte le facce mostrano il numero 3 e tutte le facce mostrano il numero 4. Da cui

$P(facce\:tutte\:uguali)={4\over 256}={1\over 64}$

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Quesito 8

La parola STUDIARE ha otto lettere distinte, quindi il numero totale di anagrammi è calcolabile attraverso il fattoriale, ossia

$numero\:di\:anagrammi=8!=40320$

Se vogliamo considerare che il blocco composto dalla parola ARTE sia sempre unito, possiamo identificare tale blocco con un oggetto da permutare e quindi a questo punto gli oggetti da permutare diventano cinque, ossia il blocco ARTE tutto assieme e ogni altra singola lettera, siccome ancora una volta questi blocchi sono diversi, possiamo usare sempre il fattoria, da cui

$numero\:di\:anagrammi=5!=120$

Per studiare la parola VACANZA bisogna osservare che tale parola ha sette lettere di cui la lettera A si ripete tre volte, per cui per calcolare gli anagrammi di tale parola bisogna fare

$numero\:di\:anagrammi={7!\over 3!}={5040\over 6}=840$

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