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Prove svolte

Esame di maturità 2025 prova di matematica – Prova svolta

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Indice

Problema 1
Problema 2
Quesito 1
Quesito 2
Quesito 3
Quesito 4
Quesito 5
Quesito 6
Quesito 7
Quesito 8

Problema 1

Punto a

Per prima cosa verifichiamo la continuità della classe di funzioni $f_k$ . La funzione è continua se e solo se

$\lim_{x\to x_0} f_k(x)=x_0\Rightarrow \lim_{x\to x_0^+} f_k(x)=\lim_{x\to x_0^-} f_k(x)=x_0$

e questo deve valere per ogni punti del dominio. Pertanto quello che dobbiamo dimostrare è che per ogni $k<0$ e per ogni $x_0\in\math{R}$ vale che

$\lim_{x\to x_0^+}k |x|=\lim_{x\to x_0^-} k |x|=k |x_0|$

e questo sappiamo essere vero in quanto qualunque sia $x_0$ esisterà un intorno destro e un intorno sinistro di $x_0$ tutto dello stesso segno, pertanto la funzione valore assoluto si può togliere e la funzione identità è una funzione continua. Vediamo ora di stabilire la non derivabilità nel punto $x=0$ (lo facciamo usando un ragionamento che non ricorre alla definizione di limite del rapporto incrementale). Il valore assoluto è una funzione definita a tratti, infatti $|x|=x$ se $x\geq0$ mentre $|x|=-x$ se $x<0$ , pertanto la funzione $f_k$ è derivabile in ogni punto diverso da $x=0$ prechè le funzioni $kx$ e $-kx$ lo sono. Vediamo cosa succede nel punto $x=0$ . Anche la funzione $f'_k$ è una funzione definita a tratti, infatti $f'_k(x)=k$ se $x\geq 0$ e $f'_k(x)=-k$ se $x<0$ pertanto la derivata destra e la derivata sinistra nel punto $x=0$ non coincidono e quindi la funzione non è derivabile in quel punto. La situazione che stiamo studiando è rappresentata da questo grafico

quindi quello che ci conviene fare è calcolare l’angolo formato dalle due rette, il quale dipende dalla pendenza $k$ delle due rette, che sarà l’angolo da utilizzare nella formula del settore circolare e della lunghezza dell’arco di circonferenza. Chiamato $\alpha$ tale angolo, che tra l’altro sappiamo essere $\alpha=2\tan^{-1}{1\over k}$ , e possiamo scrivere

$A_\alpha={r^2\pi\alpha\over 2\pi}={r^2\cdot \alpha\over 2}$

$L_{contorno}=2r+{2r\pi\alpha\over 2\pi}=2r+{r\cdot \alpha$

mettendo a sistema questo due ricavando $\alpha={2\pi\over r^2}$ dalla seconda e sostituendola alla prima si ottiene

$2r^2-(4+\pi)r+2\pi=0$

$r_{1,2}={4+\pi\pm\sqrt{16+8\pi+\pi^2-16\pi}\over 4$

$r_{1,2}={4+\pi\pm(4-\pi)\over 4$

da cui vengono le due soluzioni $r=\pi/2$ e $r=2$ . Infine rappresentiamo graficamente le due funzioni richieste

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Punto b

Siamo di fronte a uno studio di funzione relativamente classico, per prima cosa quindi studiamo il dominio della funzione

$g(x)=\sqrt{4-x^2}$

sappiamo che la funzione radice quadrata ha senso solamente quando il radicando è maggiore o uguale a zero, ossia $4-x^2\geq 0$ da cui ci viene che il dominio è formato dall’intervallo $D=[-2\:;\:2]$ . Controlliamo adesso se la funzione è pari o dispari, in particolare questa è una funzione pari, ossia

$g(x)=g(-x)$

infatti

$g(x)=\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4-(-x)^2}=g(-x)$

Vediamo adesso l’intersezione con gli assi, la funzione incontra l’asse $x$ di equazione $y=0$ nei punti che risolvono l’equazione

$0=\sqrt{4-x^2}$

ossia $x=-2$ e $x=2$ , mentre incontra l’asse $y$ di equazione $x=0$ nel punto che verifica l’equazione

$y=\sqrt{4-0^2}=2$

attenzione che la radice quadrata come funzione matematica da come risultato solamente il numero positivo, quindi la soluzione è solamente $x=2$ . Studiamone ora la monotonia studiando la derivata prima della funzione $g(x)$ , quindi

$g'(x)={1\over 2}\cdot (4-x^2)^{-{1\over 2}}\cdot (-2x)=-{x\over \sqrt{4-x^2}}$

quindi, considerando che il denominatore è sempre positivo, la derivata prima sarà maggiore di zero, e quindi la funzione monotona crescente, se $x<0$ e sarà minore di zero, e quindi la funzione monotona decrescente, se $x>0$ . Nei due punti $x=-2$ e $x=2$ , che sono gli estremi del dominio, non abbiamo derivabilità perchè la derivata tende all’infinito. In conclusione dello studio di funzione tracciamo il grafico della funzione, che sarà la mezza circonferenza centrata nell’origine e di raggio $r=2$ , nel semipiano positivo delle $y$ , ossia

La funzione $g(x)$ nel suo dominio non è invertibile in quanto non è iniettiva, infatti possiamo vedere che l’insieme immagine della funzione è l’intervallo $[0\:;\:2]$ , ma il ogni numero dell’insieme immagine è raggiunto, attraverso la funzione $g$ , da due numeri (infatti abbiamo già detto che la funzione è pari). Se voglio restringere il dominio della funzione affinchè la funzione risulti anche iniettiva ci basta prendere l’intervallo $[0\:;\:2]$ , in questo intervallo la funzione è invertibile e la sua inversa è

$y=\sqrt{4-x^2}$

$y^2=4-x^2$

$x=\sqrt{4-y^2}$

ossia

$g(x)=g^{-1}(x)$

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Punto c

AGGIORNAMENTO IN CORSO

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Punto d

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Problema 2

Punto a

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Punto b

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Punto c

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Punto d

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Quesito 1

Prima di tutto facciamo il disegno per chiarire in che situazione ci troviamo. Pertanto

A questo punto ipotizziamo che i due segmenti all’interno del triangolo siano congruenti e verifichiamo che anche il segmento $AB$ e il segmento $AC$ devono essere congruenti. Per dimostrare ciò ci basiamo sui triangoli isosceli e sulle loro proprietà degli angoli, infatti sappiamo che un triangolo è isoscele se e solo se almeno due dei suoi angoli sono congruenti, in particolare gli angoli alla base. quindi tracciamo il segmento $B'C'$ e nominiamo gli angoli. Ossia

A questo punto dire che i due segmenti $B'M$ e $C'M$ sono congruenti equivale a dire che il triangolo $B'MC'$ è un triangolo isoscele, pertanto i due angoli alla base $C'B'M$ e $B'C'M$ sono congruenti, verifichiamo che questa ipotesi porta con se che i due angoli $ACB$ e $ABC$ sono congruenti e quindi il triangolo $ABC$ è isoscele. Per fare questo ci basta utilizzare tutti gli angoli piatti che ci sono in figura e mettere a sistema, l’unica cosa che osserviamo in maniera esplicita è che gli angoli piatti sono otto, uno per ogni triangolo rappresentato (che sono cinque) e uno per ogni angolo piatto che si forma sul lato del triangolo $ABC$ .

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Quesito 2

Si consideri la superficie sferica di equazione:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 1$

che rappresenta una sfera di centro $C = (1, 2, 0)$ e raggio $r = 1$ . Sia dato inoltre il piano $\pi$ di equazione:

$x - 2y - 2z + d = 0$

La distanza del centro della sfera $C$ dal piano $\pi$ è data da:

$d(C, \pi) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

dove $(x_0, y_0, z_0) = (1,2,0)$ e i coefficienti del piano sono $A=1$ , $B=-2$ , $C=-2$ , $D=d$ . Si ha quindi:

$d(C, \pi) = \frac{|1(1) - 2(2) - 2(0) + d|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 - 4 + d|}{\sqrt{9}} = \frac{|d - 3|}{3}$

Si possono ora discutere le varie posizioni reciproche tra il piano e la sfera:

se la distanza è minore del raggio abbiamo un piano interno, ovvero

$\frac{|d - 3|}{3} < 1$

$|d - 3| < 3 \Longrightarrow 0 < d < 6$
se la distanza è uguale al raggio abbiamo un piano tangente, ovvero

$\frac{|d - 3|}{3} = 1$

$|d - 3| = 3$

$d - 3 = 3 \Longrightarrow d = 6\lor d - 3 = -3 \Longrightarrow d = 0$
se la distanza è maggiore del raggio abbiamo un piano esterno, ovvero

$\frac{|d - 3|}{3} > 1$

$|d - 3| > 3$

$d - 3 > 3\Longrightarrow d > 6\lor d - 3 < -3\Longrightarrow d < 0$

Affinché il piano divida la sfera in due parti uguali, esso deve passare per il centro $C$ . Imponendo il passaggio del piano per il punto $(1,2,0)$ , si ottiene:

$1 - 2\cdot (2) - 2\cdot (0) + d = 0$

$1 - 4 + d = 0$

$d = 3$

Quindi, per $d=3$ il piano passa per il centro della sfera e la divide in due parti uguali.

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Quesito 3

Siamo di fronte ad un classico studio di funzione di una funzione definita a tratti. Per prima cosa l’esercizio ci chiede di studiare la continuità e la derivabilità nell’intervallo $[-1\:;\:2]$ . La funzione $-4x^2-8x$ è una funzione continua e derivabile su tutto $\math{R}$ quindi non ci crea problemi nell’intervallo $[-1\:;\: 0]$ , la funzione $1+\tan(x+{3\over 4}\pi)$ è una funzione continua e derivabili nell’intervallo $[0\:;\: 2]$ , infatti l’unico problema ce lo potrebbe dare la funzione tangente, ma la funzione tangente sull’intervallo $[{\pi\over 2}\:;\: {3\pi\over 2}]$ è continua e derivabile e quando $x$ sta in $[0\:;\:2]$ allora $x+{3\over 4}\pi$ sta in $[{\pi\over 2}\:;\: {3\pi\over 2}]$ pertanto siamo a posto. Questo ragionamento ci suggerisce che la funzione è sicuramente continua se nel punto di ascissa $x=0$ i due valori coincidono, ossia se

$-4\cdot 0^2-8\cdot 0=1+\tan(0+{3\over 4}\pi)$

e questo effettivamente è verificato perchè fanno entrambe $0$ . Per studiare la derivabilità della funzione complessiva necessitiamo che anche le derivate nel punto $x=0$ coincidano, ossia

$(-4x^2-8x)'(0)=(1+\tan(x+{3\over 4}\pi))'(0)$

$(-8x-8)(0)=(1+\tan^2(x+{3\over 4}\pi))'(0)$

$-8\cdot 0-8=1+\tan^2(0+{3\over 4}\pi)$

$-8=2$

quindi lla funzione complessiva non è derivabile nel punto $x=0$ e pertanto neanche nell’intervallo $[-1\:;\:2]$ Per quanto riguarda lo studio di funzione basta considerare che la prima parte della funzione è una parabola con concavità rivolta verso il basso, mentre la seconda parte è una funzione tangente spostata di uno verso destra e “allargata” un pochino. In definitiva il grafico viene

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Quesito 4

Troviamo per prima cosa il punto di tangenza, ossia troviamo il valore della funzione nel punto di ascissa $x=\pi/4$ , quindi

$y\left( \frac{\pi}{4} \right) = g\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin\left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right)= 2 \cdot \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cdot 1 = 2$

Quindi il punto $P$ di tangenza sarà

$P= \left( \frac{\pi}{4},\ 2 \right)$

A questo punto deriviamo la funzione, con la regola di derivazione del prodotto, per determinare la pendenza in quel punto li

$y'(x) = g'(x) \cdot \sin(2x) + g(x) \cdot \cos(2x) \cdot 2$

La valutiamo in $x = \frac{\pi}{4}$

$y'\left( \frac{\pi}{4} \right) = 2 \cdot \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + 2 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) \cdot 2 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot 2 = 2$

A questo punto determiniamo il coefficiente angolare della retta normale

$m_{\text{tangente}} = 2 \quad \Rightarrow \quad m_{\text{normale}} = -\frac{1}{2}$

Ed infine scriviamo l’equazione della retta normale

$y - 2 = -\frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 2 = -\frac{1}{2}x + \left(2 + \frac{\pi}{8}\right)$

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Quesito 5

Le condizioni di tangenza di due curve sono che abbiano lo stesso valore nel punto di contatto e che abbiamo la stessa derivata nel punto di contatto. Partiamo dalla condizione sulla derivata

$\frac{d}{dx} e^x = \frac{d}{dx} (6 - k e^{-x}) \Rightarrow e^x = k e^{-x}$

da questa possiamo ricavare la $k$ , ossia

$k = e^x \cdot e^x = e^{2x}$

A questo punto, avendo determinato $k$ , imponendo che il valore delle due funzioni debba essere lo stesso otteniamo

$e^x = 6 - k \cdot e^{-x}$

$e^x = 6 - e^{2x} \cdot e^{-x} = 6 - e^x\Rightarrow 2e^x = 6 \Rightarrow e^x = 3$

Dal quale possiamo poi ricavare il punto di tangenza

$x = \ln 3 \quad \Rightarrow \quad y = e^x = 3 \Rightarrow \text{Punto di tangenza: } (\ln 3,\, 3)$

Ed infine calcoliamo il punto $k$

$k = e^{2x} = e^{2 \ln 3} = 3^2 = 9$

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Quesito 6

Cerchiamo una funzione polinomiale $f(x)$ tale che la retta di equazione $y = 2x + 3$ sia tangente al grafico di $f$ nel punto di ascissa $x = 0$ e che si abbia:

$\int_0^3 f(x)\,dx = 9$

Affinché la retta sia tangente al grafico di $f$ in $x=0$ , devono essere verificate le seguenti condizioni:

$f(0) = 2\cdot (0) + 3 = 3$

$f'(0) = 2$

Supponiamo inizialmente che $f(x)$ possa essere un polinomio di secondo grado (se dai calcoli venisse fuori che non è così la ipotizzeremo di grado tre, poi di grado 4 e così via):

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Applicando le condizioni sopra:

$f(0) = c = 3$

$f'(x) = 2a x + b \Longrightarrow f'(0) = b = 2$

Quindi $b = 2, c = 3$ , da cui

$f(x) = ax^2 + 2x + 3$

Imponiamo ora la condizione sull’integrale:

$\int_0^3 f(x)\,dx = \int_0^3 \left( ax^2 + 2x + 3 \right) dx = 9$

$= a \cdot \frac{3^3}{3} + 2 \cdot \frac{3^2}{2} + 3 \cdot 3 = 9a + 9 + 9 = 9a + 18$

$9a + 18 = 9 \quad \Longrightarrow \quad 9a = -9 \quad \Longrightarrow \quad a = -1$

Pertanto la funzione cercata è:

$f(x) = -x^2 + 2x + 3$

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Quesito 7

Il colpo di Venere consiste nell’ottenere quattro risultati tutti diversi, siccome ogni dado ha quattro esiti possibili lanciando quattro dadi si possono ottenere

$esiti\:totali=4^4=256$

Per calcolare gli esiti in cui i quattro dadi mostrano tutti facce diverse bisogna contare le disposizioni di quattro numeri distinti in cui vogliamo che ogni numero esca una volta sola, ossia dobbiamo permutare quattro elementi, da cui

$esiti\:favorevoli=4!=24$

da cui

$P(colpo\:di\:Venere)={4!\over 4^4}={3\over 32}$

La probabilità che invece siano tutti numeri diversi la calcoliamo sempre con casi favorevoli fratto casi possibili osservando che i casi favorevoli sono solamente quattro, ossia quello in cui tutte le facce mostrano il numero 1, tutte le facce mostrano il numero 2, tutte le facce mostrano il numero 3 e tutte le facce mostrano il numero 4. Da cui

$P(facce\:tutte\:uguali)={4\over 256}={1\over 64}$

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Quesito 8

La parola STUDIARE ha otto lettere distinte, quindi il numero totale di anagrammi è calcolabile attraverso il fattoriale, ossia

$numero\:di\:anagrammi=8!=40320$

Se vogliamo considerare che il blocco composto dalla parola ARTE sia sempre unito, possiamo identificare tale blocco con un oggetto da permutare e quindi a questo punto gli oggetti da permutare diventano cinque, ossia il blocco ARTE tutto assieme e ogni altra singola lettera, siccome ancora una volta questi blocchi sono diversi, possiamo usare sempre il fattoria, da cui

$numero\:di\:anagrammi=5!=120$

Per studiare la parola VACANZA bisogna osservare che tale parola ha sette lettere di cui la lettera A si ripete tre volte, per cui per calcolare gli anagrammi di tale parola bisogna fare

$numero\:di\:anagrammi={7!\over 3!}={5040\over 6}=840$

Prove svolte

Esame di maturità 2024 prova di matematica – Prova svolta

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Problema 1

Punto a

Per prima cosa calcoliamo la derivata della funzione $f_{a,b}(x)$ che è

$f'_{a,b}(x)={3ax^2\cdot x^2-(ax^3+b)\cdot 2x\over x^4}={ax^4-2bx\over x^4}$

a questo punto se vogliamo che la curva sia tangente alla retta $t$ nel punto di ascissa $x=1$ sicuramente dobbiamo avere che la curva e la retta passino dallo stesso punto per $x=1$ , ossia $P(1\:;\:5)$ e che la derivata in quel punto sia $f'_{a,b}(1)=-7$ . Pertanto

$f_{a,b}(1)=5\Rightarrow a+b=5$

$f'_{a,b}(1)=-7\Rightarrow a-2b=-7$

da cui $b=4$ e $a=1$ .

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Punto b

Studiamo ora la funzione $f(x)={x^3+4\over x^2}$ . Sappiamo che il suo dominio è tutto l’insieme dei numeri reali meno lo $0$ . Vediamo ora i limiti nei punti estremi del dominio

$\lim_{x\to -\infty}{x^3+4\over x^2}=-\infty$

$\lim_{x\to +\infty}{x^3+4\over x^2}=+\infty$

Cerchiamo un possibile asintoto obliquo

$m=lim_{x\to \infty}{f(x)\over x}=lim_{x\to \infty}{x^3+4\over x^3}=1$

$q=lim_{x\to \infty}f(x)-mx=lim_{x\to \infty}{x^3+4\over x^2}-x=0$

per cui abbiamo un’asintoto obliquo di equazione $y=x$ . Cerchiamo ora un possibile asintoto verticale facendo i limiti per $x$ che tende a $0$

$\lim_{x\to 0^-}{x^3+4\over x^2}=+\infty$

$\lim_{x\to 0^+}{x^3+4\over x^2}=+\infty$

Cerchiamo infine i punti di massimo e minimo

$f'(x)=0\Rightarrow x=2$

da cui possiamo disegnare la funzione

Completiamo ora il punto b) scrivendo l’equazione dell’ulteriore retta tangente alla curva e passante per $P$ , osserviamo anche che tale retta non sarà tangente nel punto $P$ , ma semplicemente passerà per tale punto. La retta tangente in un generico punto $A=(a\:;\:{a^3+4\over a^2})$ con $a\neq 0$ ha equazione

$y-{a^3+4\over a^2}=(1-{8\over a^2})(x-a)$

pertanto, imponendo il passaggio per il punto $P$ otteniamo

$5-{a^3+4\over a^2}=(1-{8\over a^2})(1-a)$

da cui si ottiene

$a^3-3a+2=0\Rightarrow (a-1)^2(a+2)=0\Rightarrow a=-2\:e\:a=1$

pertanto la seconda retta tangente passa, ed è tangente, al punto $Q(-2\:;\:-1)$ ed ha equazione

$y+1=2(x+2)\Rightarrow y=2x+3$

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Punto c

Per risolvere questo punto mettiamo a sistema l’equazione del fascio $y-5=m(x-1)$ e l’equazione della curva. Risolviamo per sostituzione sostituendo $y=5+m(x-1)$ e otteniamo

$5+m(x-1)={x^3+4\over x^2}$

$5x^2+mx^3-mx^2=x^3+4$

$(m-1)x^3+(5-m)x^2-4=0$

Ragioniamo ora sulle soluzioni di quell’equazione di terzo grado. Vediamo subito che per $m=1$ l’equazione diventa l’equazione di secondo grado $x^2-1=0$ , pertanto abbiamo due soluzioni. Per $m<1$ il coefficiente direttore $m-1$ è negativo e siccome tale polinomio passa dal punto $(0\:;\:-4)$ ne consegue che deve necessariamente avere tre soluzioni, pertanto per $m<1$ le soluzioni sono tre. Con $1<m<2$ si hanno tre soluzioni distinte. Mentre quando $m=2$ l’equazione di terzo grado $x^3+3x^2-4=0$ ha due soluzioni coincidenti e quando $m$ diventa maggiore di $2$ si ha un’unica soluzione reale.

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Punto d

Quello che ci viene chiesto di calcolare è l’area della regione arancione presente in questo grafico man mano che la retta di equazione $x=k$ si sposta sempre più a destra

geometricamente possiamo subito osservare che tale limite dovrà tendere a un numero proprio per definizione di asintoto obliquo. Vediamo questo dal punto di vista analitico. L’area della figura arancione la possiamo calcolare facendo

$\lim_{k\to +\infty}(\int_1^{3\over 2}{x^3+4\over x^2}-(-7x+12)dx+\int_{3\over 2}^k {x^3+4\over x^2}-xdx)$

$\lim_{k\to +\infty}(\int_1^{3\over 2}8x+{4\over x^2}-12dx+\int_{3\over 2}^k {4\over x^2}dx)$

$\lim_{k\to +\infty}(4\cdot \Big[x^2-{1\over x}-3x\Big]_1^{3\over 2}+{8\over 3}-{4\over k})$

$\lim_{k\to +\infty}({1\over 3}+{8\over 3}-{4\over k})=3$

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Problema 2

Punto a

Per verificare che la famiglia di funzioni $f_n(x)$ non è derivabile nel punto di ascissa $x=0$ calcoliamo il limite del rapporto incrementale da destra e da sinistra e verifichiamo come si comporta. Innanzitutto abbiamo che

$f_n(x)=\sqrt[n]{x^2}-\sqrt{ax^2+bx+1}=x^{2\over n}-(ax^2+bx+1)^{1\over 2}$

pertanto in un intorno di $x=0$ la funzione è perfettamente definita e quindi possiamo dire che

$f'_n(x)={2\over n}\cdot x^{{2\over n}-1}-{1\over 2}\cdot (ax^2+bx+1)^{{1\over 2}-1}\cdot (2ax+b)$

A questo punto separiamo i due casi $n=2$ e $n>2$ . Nel primo caso, con $n=2$ , la funzione diventa

$f_2(x)=\left | x \right |-\sqrt{ax^2+bx+1}$

che quindi derivata diventa per $x<0$

$f'_2(x)=-1-{1\over 2}\cdot (ax^2+bx+1)^{-{1\over 2}}\cdot (2ax+b)$

e per $x>0$

$f'_2(x)=1-{1\over 2}\cdot (ax^2+bx+1)^{-{1\over 2}}\cdot (2ax+b)$

quindi il limite destro e il limite sinistro sono diversi, infatti

$\lim_{x\to 0^-}f_2(x)=\lim_{x\to 0^-}-1-{1\over 2}\cdot (ax^2+bx+1)^{-{1\over 2}}\cdot (2ax+b)=-1-{b\over 2}$

$\lim_{x\to 0^+}f_2(x)=\lim_{x\to 0^+}1-{1\over 2}\cdot (ax^2+bx+1)^{-{1\over 2}}\cdot (2ax+b)=1-{b\over 2}$

Analizziamo ora il secondo caso, cioè $n>2$ , in questa situazione il primo termine della derivata diventa

${2\over n}\cdot x^{{2\over n}-1}={2\over nx^{n-2\over n}}$

pertanto il limite sinistro viene

$\lim_{x\to 0^-}f_n(x)=\lim_{x\to 0^-}{2\over nx^{n-2\over n}}-{1\over 2}\cdot (ax^2+bx+1)^{-{1\over 2}}\cdot (2ax+b)=\pm\infty$

dove il più lo abbiamo nel caso in cui $n$ sia pari, mentre il segno meno nel caso in cui $n$ sia dispari. Per il limite destro invece abbiamo il risultato sempre positivo, ossia

$\lim_{x\to 0^+}f_n(x)=\lim_{x\to 0^+}{2\over nx^{n-2\over n}}-{1\over 2}\cdot (ax^2+bx+1)^{-{1\over 2}}\cdot (2ax+b)=+\infty$

Questo ragionamento ci fornisce anche la risposta ai punti angolosi, infatti tali punti li abbiamo quando i limiti sono diversi, pertanto quando $n$ è un numero dispari oppure quando $n=2$ .
Determiniamo ora i parametri $a, b$ in maniera tale che il grafico sia quello in figura

Siccome deve essere simmetrico rispetto all’asse $y$ abbiamo che

$f_2(x)=f_2(-x)$

pertanto

$\left | x \right |-\sqrt{ax^2+bx+1}=\left | -x \right |-\sqrt{a(-x)^2-bx+1}$

$\sqrt{ax^2+bx+1}=\sqrt{ax^2-bx+1}$

per cui necessariamente $b=0$ , per determinare il valore di $a$ imponiamo che il dominio sia $[-1\:;\:1]$ , quindi risolviamo la disequazione

$ax^2+1\geq 0\Rightarrow x\in[-{1\over \sqrt{a}}\:;\:+{1\over \sqrt{a}}]$

pertanto se vogliamo che quell’intervallo sia $[-1\:;\:1]$ dobbiamo avere $a=-1$ .

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Punto b

Studiamo ora la funzione

$g(x)=\left | x \right |+\sqrt{1-x^2}$

ancora una volta il suo dominio è la soluzione della disequazione $1-x^2\geq 0$ pertanto è l’intervallo $[-1\:;\:1]$ . Inoltre la sua derivata è

$g'(x)=\mp 1-{2x\over 2\sqrt{1-x^2}}$

dove il segno meno lo abbiamo quando $x<0$ mentre il segno più quando $x>0$ . Pertanto

$lim_{x\to -1^+}g'(x)=lim_{x\to -1^+} -1-{2x\over 2\sqrt{1-x^2}}=+\infty$

$lim_{x\to +1^-}g'(x)=lim_{x\to +1^-} 1-{2x\over 2\sqrt{1-x^2}}=-\infty$

quindi negli estremi del dominio la funzione non è derivabile, vediamo ora come si comporta per $x=0$ .

$lim_{x\to 0^-}g'(x)=lim_{x\to 0^-} -1-{2x\over 2\sqrt{1-x^2}}=-1$

$lim_{x\to 0^+}g'(x)=lim_{x\to 0^-} 1-{2x\over 2\sqrt{1-x^2}}=+1$

pertanto neanche nel punto $x=0$ la funzione non è derivabile. Una volta verificato questo procediamo con lo studio di funzione, l’unica cosa che ci manca per poter disegnare la funzione $g(x)$ è lo studio della derivata prima per poter determinare le concavità e i massimi e minimi, quindi studiamo $g(x)>0$ . Per $x<0$ abbiamo

$-1-{2x\over 2\sqrt{1-x^2}}>0\Rightarrow x<-{1\over \sqrt 2}$

quindi nel punto $x=-{1\over \sqrt 2}$ abbiamo un massimo relativo. Per completare osserviamo che $g(x)$ è una funzione pari, pertanto il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$ . Una volta fatto questo disegniamo i due grafici uniti

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Punto c

I punti di intersezione tra la retta $x=k$ e la nostra curva a cuore sono le intersezioni tra le due curve con la retta (infatti nella parte bassa del cuore la curva blu è rappresentata dalla curva $f(x)$ mentre nella parte alta del cuore la curva rossa è rappresentata dalla curva $g(x)$ ). Pertanto le coordinate $y$ dei due punti di intersezione sono $f(k)$ e $g(k)$ , osserviamo anche che siccome entrambe le funzioni sono pari a noi basta studiare la situazione per $k\in[0\:;\:1]$

$f(k)=k-\sqrt{1-k^2}$

$g(k)=k+\sqrt{1-k^2}$

quindi la formula che esprime la distanza tra questi due punti sarà

$g(k)-f(k)=k+\sqrt{1-k^2}-(k-\sqrt{1-k^2})=2\sqrt{1-k^2}$

che è una funzione strettamente decrescente e quindi ha il massimo per $k=0$ .

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Punto d

Per verificare che $H(x)$ è una primitiva di $h(x)$ ci basta derivare $H(x)$ e vedere che, a meno di una costante, viene $h(x)$ . Quindi

$H'(x)={1\over 2}({1\over \sqrt{1-x^2}}+1\cdot \sqrt{1-x^2}-x\cdot {2x\over 2\sqrt{1-x^2}})={1\over 2}({1+1-x^2-x^2\over \sqrt{1-x^2}})={1\over 2}({2-2x^2\over \sqrt{1-x^2}})=h(x)$

Infine per calcolare l’area del cuore impostiamo i seguenti integrali

$A=2\cdot (\int_0^1(g(x)-f(x))dx)=2\int_0^12\sqrt{1-x^2}dx=4\cdot \Big[H(x)\Big]_0^1$

$A=\Big [\arcsin x+x\sqrt{1-x^2}\Big]_0^1=2(\arcsin 1-\arcsin0)=\pi$

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Quesito 1

Partiamo con la prima parte della dimostrazione. Sia quindi $ABC$ un triangolo rettangolo isoscele e vediamo che la sua altezza relativa all’ipotenusa deve essere la metà dell’ipotenusa.

Sicuramente l’angolo in $C$ è un angolo di $45^\circ$ , siccome il triangolo grande è un triangolo isoscele e rettangolo, e sicuramente l’angolo $BHC$ è un angolo retto siccome $BH$ è altezza, ne segue che anche l’angolo $HBC$ è di $45^\circ$ e pertanto il triangolo $BCH$ è isoscele. Quindi possiamo concludere che la lunghezza di $BH$ e la lunghezza di $HC$ coincidono, ma sappiamo già che $HC$ è la metà di $AC$ in quanto nei triangoli isosceli l’altezza relativa alla base è anche mediana.
Proviamo ora l’implicazione opposta, ossia $ABC$ è un triangolo rettangolo tale che l’altezza relativa all’ipotenusa sia esattamente la metà dell’ipotenusa allora $ABC$ è anche isoscele. Se ci rifacciamo sempre all’immagine di prima abbiamo come ipotesi che $\bar{BH}=\bar{HC}=\bar{HA}$ inoltre anche gli angoli $BHC$ e $BHA$ sono congruenti perchè $BH$ è altezza, ne segue che i due triangoli $BCH$ e $BHA$ sono congruenti e pertanto i due angoli adiacenti all’ipotenusa di $ABC$ sono congruenti da cui segue che $ABC$ è isoscele.

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Quesito 2

I modi di ottenere esattamente due testa in cinque lanci sono $10$ (ad esempio $TTCCC$ , $TCTCC$ , $TCCTC$ e così via), pertanto la probabilità di ottenere esattamente due teste è

$10\cdot p^2\cdot (1-p)^3$

Per rispondere alla seconda domanda, siccome ci chiede un massimo, basta cercare i massimi della funzione probabilità, quindi come prima cosa la deriviamo in $p$ e otteniamo

$10\cdot (2p(1-p)^3-3p^2(1-p)^2)=10p(1-p)^2(2-5p)$

per cui la derivata ha tre zeri che sono $p=0$ , $p=1$ e $p=2/5$ . Le prime due soluzioni sono quelle che rendono nulla la probabilità che escano esattamente due teste, mentre la terza soluzione $p=2/5$ è quella che rende massima la probabilità che escano esattamente due teste.

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Esame di maturità 2023 prova di matematica – Prova svolta

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Indice

Problema 1
Problema 2
Quesito 1
Quesito 2
Quesito 3
Quesito 4
Quesito 5
Quesito 6
Quesito 7
Quesito 8

Problema 1

Punto a

Dal grafico presente nel testo dell’esercizio possiamo dedurre i punti da cui passano i tre pezzi di grafico (la pratica di dedurre i punti dal grafico non è completamente corretta, sarebbe stato meglio che il ministero avesse esplicitato i punti). Possiamo quindi dedurre che

il grafico $\Gamma_1$ parta dal punto $A=(-2\:;\:0)$ e arrivi al punto $B=(0\:;\:1)$ , che il grafico $\Gamma_2$ parta dal punto $B=(0\:;\:1)$ e arrivi al punto $C=(1\:;\:0)$ e infine che il grafico $\Gamma_3$ parta dal punto $C=(1\:;\:0)$ . Una volta dedotto questo, per ottenere l’espressione analitica della funzione nell’intervallo $[-2\:;\:2]$ ci basta sostituire, quindi imponendo il passaggio di $\Gamma_1$ per $B$ avremo che

$y=a(x+2)^2$

$1=a(0+2)^2$

$1=4a$

$a={1\over 4}$

Imponendo il passaggio di $\Gamma_2$ sempre per $B$ avremo che

$x^2+y^2+b=0$

$0^2+1^2+b=0$

$b=-1$

e infine imponendo il passaggio di $\Gamma_3$ per $C$ otteniamo

$x^2-y^2+c=0$

$1^2+0^2+c=0$

$c=-1$

da cui avremo

$\begin{cases} y={1\over 4}(x+2)^2\qquad &se\:\in [-2\:;\:0] \\ x^2+y^2-1=0\: &se\:\in [0\:;\:1]\\ x^2-y^2-1=0\: &se\:\in [1\:;\:2] \end{cases} \Rightarrow y=f(x)=\begin{cases} {1\over 4}(x+2)^2\qquad &se\:\in [-2\:;\:0] \\\sqrt{1-x^2}\: &se\:\in [0\:;\:1]\\ \sqrt{x^2-1}\: &se\:\in [1\:;\:2] \end{cases}$

Una volta dedotta la forma analitica della funzione possiamo osservare che all’interno dei tre intervalli $[-2\:;\:0]$ , $[0\:;\:1]$ e $[1\:;\:2]$ la funzione è sicuramente derivabile (questo perchè le funzioni definite nei singoli intervalli sappiamo essere derivabili), ci rimangono solo dei dubbi sui due punti di ascissa $x=0$ e $x=1$ . Prima di procedere analiticamente con il calcolo ragioniamo sul concetto di derivata. Sappiamo che la derivata è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico e sappiamo che questo coefficiente angolare deve essere un numero finito affinché la funzione sia derivabile. Pertanto in entrambi i punti la funzione non sarà derivabile, infatti nel punto di ascissa $x=0$ la retta tangente che si ottiene percorrendo il grafico $\Gamma_1$ verso destra (retta nera) è diversa dalla retta tangente che si ottiene percorrendo il grafico $\Gamma_2$ verso sinistra (retta blu) e quindi il punto è un punto angoloso

mentre il punto di ascissa $x=1$ possiede la retta tangente parallela all’asse $y$ (retta verde) e quindi è un punto di cuspide

Una volta fatto questo ragionamento intuitivo supportiamo tale ragionamento attraverso i calcoli analitici delle derivate. Allora

$f'(x)=\begin{cases} {1\over 4}\cdot 2\cdot (x+2)={1\over 2}(x+2)\qquad &se\:\in [-2\:;\:0] \\\\{1\over 2}(1-x^2)^{-1/2}\cdot(-2x)={-x\over \sqrt{1-x^2}}\: &se\:\in [0\:;\:1]\\ \\{1\over 2}(x^2-1)^{-1/2}\cdot(2x)={x\over \sqrt{x^2-1}}\: &se\:\in [1\:;\:2] \end{cases}$

Da cui è possibile vedere che le due derivate calcolate nel punto $x=0$ sono diverse a seconda di che espressione consideriamo e che la derivata nel punto $x=1$ ha valore non finito. A questo punto completiamo il punto a) del problema calcolando la derivata nei punti di ascissa $x=-2$ , $x=0$ , $x=1$ e $x=2$ . La retta tangente al punto di ascissa $x=-2$ è la retta che passa per $f(-2)$ e ha come coefficiente angolare $f'(-2)$ (questo vale per ogni punto di derivabilità della funzione e quindi anche per $x=2$ , mentre per gli altri due punti dovremo fare due discorsi differenti). Pertanto, siccome $f(-2)=0$ e $f'(-2)=0$ , la retta tangente al grafico nel punto di ascissa $x=-2$ è $y=0$ che è esattamente l’asse $x$ . La retta tangente al punto $x=0$ , come abbiamo già ampiamente detto, non esiste. La retta tangente al punto di ascissa $x=1$ (la retta verde del grafico precedente) è la retta $x=1$ . Infine la retta tangente al grafico nel punto $x=2$ , siccome $f(2)=\sqrt 3$ e $f'(2)={2\over \sqrt 3}$ , ha equazione

$y-\sqrt3={2\over \sqrt 3}\cdot (x-2)$

$y={2\over \sqrt 3}x-{4\over \sqrt 3}+\sqrt 3$

$y={2\over \sqrt 3}x+{-4+3\over \sqrt 3}$

$y={2\over \sqrt 3}x-{1\over \sqrt 3}$

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Punto b

Per rispondere al punto b) osserviamo che dobbiamo dedurre il grafico della derivata a partire dal grafico della funzione $f(x)$ , non dobbiamo semplicemente dedurre il grafico di $f'(x)$ partendo dalla sua espressione analitica (trovata nel punto a)). Nel primo tratto (quello relativo alla parabola) la derivata parte da un valore uguale a $f'(-2)=0$ e tende a $f'(0)=1$ (infatti abbiamo già detto nel punto $x=0$ la derivata non c’è, nonostante questo da sinistra la derivata tende ad essere $1$ ). Nel secondo tratto (quello relativo alla circonferenza) la derivata parte da $f'(0)=0$ (ancora una volta il valore $0$ non è considerato) e tende ad arrivare a $-\infty$ (infatti la tangente tende alla retta $x=1$ ). Superato il punto $x=1$ e arrivati all’ultimo tratto (quello relativo al’arco di iperbole) si ha che la derivata parte da $+\infty$ fino ad arrivare a $f'(2)=2/\sqrt3$ . In definitiva il grafico sarà qualcosa del tipo

Cerchiamo ora di studiare la funzione integrale

$F(x)=\int_{-2}^{x}f(t)dt$

siccome $f(x)$ è continua nell’intervallo $[-2\:;\:2]$ la prima parte del teorema fondamentale del calcolo integrale ci dice che $F(x)$ è derivabile, inoltre $F'(x)=f(x)$ e quindi

$F''(x)=f'(x)$

pertanto per studiare la concavità e la convessità della funzione integrale ci basta studiare il grafico di $f'(x)$ (che abbiamo appena dedotto). Per cui la funzione $F(x)$ sarà convessa negli intervalli in cui $F''(x)=f'(x)$ è positiva, ossia $]-2\:;\:0[$ e $]1\:;\: 2[$ , e sarà concava negli intervalli in cui la derivata seconda è negativa, ossia $]0\:;\:1[$ .

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Punto c

La funzione

$y={1\over 4}(x+2)^2$

definita sull’intervallo $[-2\:;\:0]$ è una funzione continua e strettamente crescente (possiamo vederlo graficamente oppure in maniera più precisa andando ad esaminare la derivata calcolata in precedenza che è sempre strettamente positiva tranne nel punto $x=-2$ ) pertanto sappiamo essere invertibile. Per calcolare la sua inversa ci basta determinare $x$ in funzione di $y$ , da cui

$y={1\over 4}(x+2)^2$

$4y=(x+2)^2$

$\sqrt{4y}=x+2$

$x=\sqrt{4y}-2=2\sqrt y-2=2(\sqrt y-1)$

Pertanto la funzione $h(x)$ (quindi scritta cambiando il nome delle variabili) sarà

$h(x)=2(\sqrt x-1)$

che è una funzione derivabile nel suo dominio naturale $[0\:;\;+\infty[$ e la cui derivata è

$h'(x)=2\cdot {1\over 2}\cdot {1\over \sqrt x}={1\over \sqrt x}$

perfettamente definita nell’intervallo $]0\:;\:+\infty[$ . Infine per disegnarne il grafico osserviamo che

$y=2(\sqrt x-1)\Rightarrow x={1\over 4}(y+2)^2$

pertanto il grafico di $h(x)$ è uguale al grafico di $f(x)$ in $[-2\:;\:0]$ dove abbiamo invertito gli assi cartesiani (quindi sono speculari rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante $y=x$ ), da cui

Dove abbiamo rappresentato solo la funzione $h(x)$ inversa dell’arco di parabola di $f(x)$ .

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Punto d

Risolviamo infine l’ultimo punto del primo problema. Cerchiamo di capire a livello grafico quello che dobbiamo fare: dobbiamo trovare la costante $k$ per cui la retta $x=k$ (retta verde) divide in due parti di equale area il sottografico di $\Gamma_1$

Quindi prima di tutto calcoliamo l’area del sottografico di $\Gamma_1$ e poi imponiamo che l’area del sottografico di $\Gamma_1$ fino a $x=k$ sia esattamente la sua metà. Per fare questo utilizziamo il calcolo integrale (nonostante si possano usare anche le nozioni di geometria analitica imparate in terza per l’area del segmento parabolico). Allora

$A_{\Gamma_1}^{[-2\:;\:0]}=\int_{-2}^{0}{1\over 4}(x+2)^2dx={1\over 4}\cdot\Big[{1\over 3}(x+2)^3\Big]_{-2}^0={2\over 3}$

da cui

$A_{\Gamma_1}^{[-2\:;\:k]}={1\over 3}$

$\int_{-2}^{k}{1\over 4}(x+2)^2dx={1\over 3}$

${1\over 4}\cdot\Big[{1\over 3}(x+2)^3\Big]_{-2}^0={1\over 3}$

${1\over 12}(k+2)^3={1\over 3}$

$(k+2)^3=4$

$k+2=\sqrt[3]4$

$k=\sqrt[3]4-2$

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Problema 2

Punto a

Studiando, al variare di $a\neq 0$ , la funzione

$f_a(x)={x^2-ax\over x^2-a}$

possiamo subito notare che il numeratore e il denominatore sono continui nel loro dominio naturale e che l’unico “problema” potrebbe essere rappresentato dal denominatore che dovrà essere sempre diverso da zero per dare senso alla divisione. Fatta questa premessa risulta evidente che se fosse $a<0$ allora $-a>0$ per cui $x^2-a>0$ e quindi la funzione sarebbe continua in tutto $\mathbb{R}$ . Nel caso in cui $a>0$ dobbiamo imporre che il denominatore sia sempre diverso da zero, cioè

$x^2-a\neq 0\Rightarrow x\neq \pm\sqrt a$

quindi abbiamo due punti di discontinuità in $x=-\sqrt a$ e $x=+\sqrt a$ . Per studiare che punti di discontinuità sono e i vari asintoti utilizziamo i limiti. Per $a<1$ , siccome non abbiamo punti di discontinuità all’interno di $\mathbb{R}$ , potremmo avere solo asintoti orizzontali o obliqui, pertanto studiamo

$\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}{x^2-ax\over x^2-a}=1$

$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}{x^2-ax\over x^2-a}=1$

e questo a prescindere dal valore di $a\neq 0$ . Pertanto in ogni caso la funzione $f(x)$ presenta l’asintoto orizzontale $y=1$ . Studiamo ora i limiti per $x\to -\sqrt a$ e per $x\to +\sqrt a$ nel caso in cui $a>0$ . Allora se $a\neq 1$

$\lim_{x\to -\sqrt a^-}f(x)=\lim_{x\to -\sqrt a^-}{x^2-ax\over x^2-a}=+\infty$

a prescindere dal valore di $a>0\:,\:a\neq 1$ in quanto il numeratore è sempre un numero positivo diverso da zero e il denominatore tende a $0^+$ . Un discorso analogo lo possiamo fare per

$\lim_{x\to -\sqrt a^+}f(x)=\lim_{x\to -\sqrt a^+}{x^2-ax\over x^2-a}=-\infty$

dove osserviamo esplicitamente che tutto questo è così perchè se $x\to-\sqrt a$ il numeratore $x^2-ax$ tende sicuramente a qualcosa di positivo. Discorso diverso abbiamo nel limite per $x\to +\sqrt a$ , infatti in questo caso il numeratore sarà una volta positivo e una volta negativo. In particolare

$\lim_{x\to +\sqrt a^-}f(x)=\lim_{x\to +\sqrt a^-}{x^2-ax\over x^2-a}=\pm\infty$

infatti il denominatore tende sempre a $0^-$ a prescindere dal valore di $a$ , mentre il numeratore tende ad essere un numero positivo se $0<a<1$ e negativo se $a>1$ . Pertanto tale limite sarà $-\infty$ se $0<a<1$ e $+\infty$ se $a>1$ . Discorso del tutto analogo (ma al contrario con i segni) possiamo farlo per

$\lim_{x\to +\sqrt a^+}f(x)=\lim_{x\to +\sqrt a^+}{x^2-ax\over x^2-a}=\mp\infty$

Da questa discussione con i limiti viene fuori che il caso $a=1$ comporta delle leggere differenze, infatti a uno studio un attimo più approfondito si nota che quando $a=1$ allora

$f_1(x)={x^2-x\over x^2-1}={x\cdot (x+1)\over (x+1)\cdot (x-1)}={x\over x-1}$

che quindi ha dominio $\mathbb{R}-\{1\}$ e

$\lim_{x\to 1}f_1(x)=\lim_{x\to 1}{{x\over x-1}}=\mp\infty$

negativo se $x\to 1^-$ positivo se $x\to 1^+$ . Ricapitolando abbiamo tutti punto di discontinuità di seconda specie e come asintoti quello orizzontale $y=1$ per ogni $a\neq 0$ , quelli verticali $x=\pm\sqrt a$ per ogni $a>0$ e $a\neq 1$ e invece per $a=1$ quello verticale $x=1$ . Nel dettaglio le quattro tipologie di grafico di $f_a(x)$ sono

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Punto b

Le intersezioni tra $\Omega_a$ e il suo asintoto orizzontale sono le soluzione del sistema

$\begin{cases} y={x^2-ax\over x^2-a} \\\\y=1 \end{cases}$

che è facilmente risolvile per sostituzione

$\begin{cases} y={x^2-ax\over x^2-a} \\y=1 \end{cases}=\begin{cases} 1={x^2-ax\over x^2-a} \\y=1 \end{cases}=\begin{cases} x^2-a=x^2-ax \\y=1 \end{cases}=\begin{cases} -a=-ax \\y=1 \end{cases}=\begin{cases} x=1\\y=1 \end{cases}$

quindi la soluzione è indipendente dal parametro $a$ . Osserviamo anche esplicitamente che tale soluzione per $a=1$ non la possiamo accettare (nonostante quel sistema sia comunque risolvibile nello stesso identico modo) perchè il dominio di $f_1(x)$ non contiene il punto $x=1$ . Per rispondere al secondo punto facciamo vedere che $f_a(0)$ e $f'_a(0)$ sono indipendenti dal parametro $a$ qualunque $a\neq 1$ si consideri. Infatti

$f_a(0)={0^2-a\cdot 0\over 0-a}=-{0\over a}=0$

Invece

$f'_a(x)={(2x-a)(x^2-a)-(x^2-ax)\cdot 2x\over (x^2-a)^2}$

$f'_a(x)={2x^3-2ax-ax^2+a^2-2x^3+2ax^2\over (x^2-a)^2}$

$f'_a(x)={ax^2-2ax+a^2\over (x^2-a)^2}$

pertanto

$f'_a(0)=1$

qualunque sia il parametro $a\neq 1$ .

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Punto c

Per studiare la monotonia di una funzione dobbiamo studiare il segno della derivata prima di tale funzione. Dal punto a) sappiamo che

$f'_a(x)={ax^2-2ax+a^2\over (x^2-a)^2}$

pertanto il denominatore è sempre positivo e il segno della derivata dipende esclusivamente dal segno del numeratore. Il numeratore è una parabola che tocca l’asse $x$ nei punti che verificano l’equazione associata

$ax^2-2ax+a^2=0$

quindi

$\Delta=4a^2-4a^3=4a^2\cdot(1-a)>0\:quando\:a\neq 0\:e\:a<1$

$x_{1,2}={2a\pm\sqrt{4a^2\cdot(1-a)}\over 2a}={2a\pm 2a\cdot\sqrt{1-a}\over 2a}=1\pm\sqrt{1-a}$

e siccome quando $a<0$ la parabola ha concavità rivolta verso il basso sappiamo che sarà negativa esternamente e positiva internamente e quindi il segno della derivata sarà

mentre quando $0<a<1$ la parabola avrà concavità rivolta verso l’alto e quindi il suo segno sarà

Notiamo anche esplicitamente che questi segni sono il linea con i grafici che abbiamo ottenuto nel punto a).
Per completare il punto c) studiamo la funzione che si ottiene quando $a=-1$ , ossia

$f_{-1}(x)={x^2+x\over x^2+1}$

osserviamo che sappiamo già tutto di questa funzione, infatti nei punti precedenti ne abbiamo studiato il dominio, i limiti, la monotonia e i punti di massimo e minimo (deducibili dal grafico dei segni scritto sopra), pertanto possiamo concludere che il grafico $\Omega_{-1}$ sarà

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Punto d

Per risolvere questo ultimo punto è necessario prima di tutto capire perfettamente quale area ci viene richiesto di calcolare, pertanto preliminarmente calcoliamo la tangente al grafico nell’origine e vediamo come è posizionata rispetto al grafico $\Omega_{-1}$ . Dal punto b) dell’esercizio sappiamo che la retta tangente è la bisettrice del primo e terzo quadrante, ossia $y=x$ e questa retta interseca il grafico nei due punti $x=0$ e $x=1$ , infatti queste sono le soluzioni del seguente sistema

$\begin{cases} y={x^2+x\over x^2+1} \\\\y=x \end{cases}$

$\begin{cases} x={x^2+x\over x^2+1} \\\\y=x \end{cases}$

$\begin{cases} (x^2+1)\cdot x=x^2+x \\\\y=x \end{cases}$

$\begin{cases} x^3+x=x^2+x \\\\y=x \end{cases}$

$\begin{cases} x^3-x^2=0 \\\\y=x \end{cases}$

$\begin{cases} x^2\cdot (x-1)=0 \\\\y=x \end{cases}$

Per concludere la nostra idea dell’area da calcolare (necessaria per imbastire correttamente l’integrale che ci permetterà di completare il calcolo) cerchiamo di capire se la retta è minore o maggiore di $\Omega_{-1}$ . Per fare questo studiamo il segno della seguente funzione

${x^2+x\over x^2+1}-x$

che è la sottrazione tra la funzione $f_{-1}(x)$ e la retta. Pertanto

${x^2+x\over x^2+1}-x>0$

${x^2+x-x^3-x\over x^2+1}>0$

${x^2-x^3\over x^2+1}>0$

${x^2\cdot (1-x)\over x^2+1}>0$

e quindi per studiare il segno complessivo della frazione studiamo il segno dei tre “blocchi” separatamente. Sappiamo che $x^2$ e $x^2+1$ sono sempre positivi, mentre $1-x>0$ se $x<1$ , per cui lo schema dei segni sarà

Da cui possiamo dedurre che il grafico $\Omega_{-1}$ sta “sopra” la retta tra $0$ e $1$ e “sotto” tra $1$ e $+\infty$ . La situazione sarà qualcosa del tipo

Per calcolare l’area compresa tra le rette blu, rosse e il grafico verde impostiamo il seguente calcolo integrale

$\int_{1}^{\sqrt{3}}xdx-\int_{1}^{\sqrt{3}}{x^2+x\over x^2+1}dx$

$\int_{1}^{\sqrt{3}}xdx-\int_{1}^{\sqrt{3}}{x^2+1-1+x\over x^2+1}dx$

$\int_{1}^{\sqrt{3}}xdx-\int_{1}^{\sqrt{3}}{x^2+1\over x^2+1}+{-1+x\over x^2+1}dx$

$\int_{1}^{\sqrt{3}}xdx-\int_{1}^{\sqrt{3}}1+{x\over x^2+1 }-{1\over x^2+1}dx$

$\int_{1}^{\sqrt{3}}xdx-\int_{1}^{\sqrt{3}}1dx-\int_{1}^{\sqrt{3}}{x\over x^2+1}dx+\int_{1}^{\sqrt{3}}{1\over x^2+1}dx$

$\Big[ {x^2\over 2}\Big]_{1}^{\sqrt{3}}-\Big[x \Big]_{1}^{\sqrt{3}}-\Big[{1\over 2 }\ln(x^2+1) \Big]_{1}^{\sqrt{3}}+\Big[\arctan(x) \Big]_{1}^{\sqrt{3}}$

$({3\over 2}-{1\over 2})-(\sqrt 3-1)-({1\over 2}\cdot \ln(4)-{1\over 2}\cdot \ln(2))+(\arctan(\sqrt 3)-\arctan(1))\approx 0,18$

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Quesito 1

Prima di tutto costruiamo la figura passo passo. Quindi tracciamo il triangolo rettangolo

Tracciamo il quadrato di lato $BC$

e infine tracciamo le due distanze che dobbiamo dimostrare essere congruenti

A questo punto procediamo con la dimostrazione. L’idea è quella di dimostrare che i due triangoli $BHO$ e $GOC$ sono congruenti

Sicuramente, per definizione di distanza, sono due triangoli rettangoli, inoltre il lato $CO$ e il lato $BO$ sono congruenti in quanto mezza diagonale del quadrato. A questo punto se dimostriamo che gli angoli sono congruenti abbiamo terminato. Ma questo è relativamente facile da vedere, infatti l’angolo $HBD$ e l’angolo $ACB$ sono congruenti perchè entrambi sono calcolabili con la formula $180^\circ-90^\circ-ABC$ mentre gli angoli $DBO$ e $BCO$ sono congruenti (e pari a $45^\circ$ ) in quanto la diagonale del quadrato è anche bisettrice degli angoli interni. Pertanto $OH$ è congruente a $OG$ .

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Quesito 2

Come primo passo dobbiamo determinare le probabilità $p$ e $q$ che esca un numero pari e che esca un numero dispari. Sicuramente dal testo dell’esercizio sappiamo che $p=2q$ . Inoltre, dalle definizioni classiche di probabilità, sappiamo che la somma delle probabilità di tutti gli eventi elementari deve essere $1$ , ossia $3p+3q=1$ . Pertanto risolvendo il sistema

$\begin{cases} p&=2q \\3p+3q&=1 \end{cases}$

si ottengono facilmente i valori di $p=2/9$ e $q=1/9$ . Una volta ottenute le due probabilità cercate ragioniamo sugli eventi proposti dal testo dell’esercizio. La probabilità che esca un numero primo è uguale alla probabilità che esca un numero tra $2$ , $3$ e $5$ , per cui

$P(primo)=P(2)+P(3)+P(5)={2\over 9}+{1\over 9}+{1\over 9}={4\over 9}$

La probabilità che esca un numero almeno pari a $3$ è uguale alla probabilità che esca un numero tra $3$ , $4$ , $5$ e $6$ , per cui

$P(almeno\:3)=P(3)+P(4)+P(5)+P(6)={1\over 9}+{2\over 9}+{1\over 9}+{2\over 9}={6\over 9}={2\over 3}$

La probabilità che esca un numero al più pari a $3$ è uguale alla probabilità che esca un numero tra $1$ , $2$ e $3$ , per cui

$P(al\:più\:3)=P(1)+P(2)+P(3)={1\over 9}+{2\over 9}+{1\over 9}={4\over 9}$

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Quesito 3

Risolviamo il quesito come se fosse un problema di geometria analitica di terza, quindi per prima cosa determiniamo l’equazione della retta passante per $A$ e $B$ e in seguito cerchiamo, tra tutte le sfere di centro $C$ , l’unica che interseca la retta in un unico punto. Sappiamo che i punti che appartengono alla retta passante per $A$ e $B$ sono i punti che si possono ottenere partendo dal punto $A$ aggiungendo un vettore $t\cdot \vec{AB}$ (equazione parametriche delle rette)

$(x\:;\:y\:;\:z)=(x_A\:;\:y_A\:;\:z_A)+t\cdot (x_B-x_A\:;\:y_B-y_A\:;\:z_B-z_A)$

$(x\:;\:y\:;\:z)=(1\:;\:-2\:;\:0)+t\cdot (2-1\:;\:3-(-2)\:;\:-1-0)=(1+t\:;\:-2+5t\:;\:-t)$

L’equazione della generica sfera di centro $C$ e raggio incognito $r$ è data da

$(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2=r^2$

$(x-1)^2+(y+6)^2+(z-7)^2=r^2$

Una volta determinato questo andremo a risolvere il sistema

$\begin{cases} (x\:;\:y\:;\:z)=(1+t\:;\:-2+5t\:;\:-t) \\(x-1)^2+(y+6)^2+(z-7)^2=r^2 \end{cases}$

cercando il raggio $r$ in maniera tale che il delta dell’equazione di secondo grado che risolve il sistema sia nullo. Pertanto per sostituzione otteniamo

$(1+t-1)^2+(-2+5t+6)^2+(-t-7)^2=r^2$

$t^2+16+25t^2+40t+t^2+49+14t-r^2=0$

$27t^2+54t+65-r^2$

da cui

$\Delta=54^2-4\cdot 27\cdot (65-r^2)=108r^2-4104$

e quindi

$\Delta=0\Rightarrow 108r^2-4104=0\Rightarrow r^2=38$

Pertanto l’equazione della sfera sarà

$(x-1)^2+(y+6)^2+(z-7)^2=38$

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Quesito 4

Partiamo dalla prima parte del quesito e cerchiamo di capire che caratteristiche hanno i parallelepipedi rettangoli a base quadrata di volume costante $V$ . Se di tale parallelepipedo chiamiamo $l$ il lato di base e $h$ l’altezza possiamo senza dubbio dire che

$A=2l^2+4lh$

$V=l^2h$

da cui

$h={V\over l^2}$

$A=2l^2+4l\cdot {V\over l^2}=2l^2+{4V\over l}$

Una volta determinata l’espressione analitica dell’area totale che dipende dall’unico parametro $l$ è possibile minimizzare la funzione e determinare che caratteristiche deve avere $l$ per far si che l’area totale sia la minima possibile. Quindi partiamo da $A(l)$ e calcoliamo la sua derivata prima rispetto a $l$ , ossia

$A'(l)=4l-{4V\over l^2}$

da cui

$A'(l)=0\iff 4l-{4V\over l^2}=0$

$4l={4V\over l^2}$

$l^3=V$

$l=\sqrt[3]{V}$

e studiando il segno della derivata prima possiamo dedurre che questo è un punto di minimo della nostra funzione $A(l)$ . Per completare il quesito ci basta verificare quale sia la condizione di lunghezza minima della diagonale. Sappiamo che

$d=\sqrt{l^2+l^2+h^2}=\sqrt{2l^2+{V^2\over l^4}}=\Big(2l^2+{V^2\over l^4}\Big)^{1\over 2}$

per cui la derivata della funzione $d(l)$ sarà

$d'(l)={1\over 2}\cdot \Big(2l^2+V^2l^{-4}\Big)^{-{1\over 2}}\cdot \Big(4l+{(-4)V^2\over l^5}\Big)={2l-{2V^2\over l^5}\over \sqrt{2l^2+{V^2\over l^4}}}$

da cui, considerando che il denominatore è sempre maggiore di zero, avremo che

$d'(l)=0\iff 2l-{2V^2\over l^5}=0$

$2l={2V^2\over l^5}$

$l^6=V^2$

$l=\sqrt[3]V$

Quindi la condizione che rende minima l’area totale è la stessa che rende minima la diagonale.

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Quesito 5

Come due metodi proponiamo quello con il calcolo della derivata e quello che impone che l’intersezione tra retta e curva abbiamo un’unica soluzione doppia. La curva definita dalla funzione

$y=\sqrt{25-x^2}$

è la semicirconferenza di centro $(0\:;\:0)$ e raggio $r=5$ , inoltre passa dal punto $(3\:;\:\sqrt{25-3^2})=(3\:;\:4)$ . Una volta dedotto questo partiamo con il primo metodo.

$y'={-x\over \sqrt{25-x^2}}$

per cui $y'(3)=-3/4$ . Quindi la retta tangente alla curva è l’unica retta passante per $(3\:;\:4)$ e avente coefficiente angolare $-3/4$ , ossia

$y-4=-{3\over 4}\cdot (x-3)\Rightarrow y=-{3\over 4}x+{25\over 4}$

Il secondo metodo è quello studiato in terza che utilizza le conoscenze di geometria analitica. Quindi prima di tutto intersechiamo la generica retta passante per $(3\:;\:4)$ con la circonferenza, ossia

$\begin{cases} x^2+y^2=25 \\y-4=m\cdot (x-3) \end{cases}$

$\begin{cases} x^2+y^2=25 \\y=mx -3m+4 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2+(mx -3m+4)^2=25 \\y=mx -3m+4 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2+m^2x^2+9m^2+16-6m^2x+8mx-24m-25=0 \\y=mx -3m+4 \end{cases}$

$\begin{cases} (1+m^2)x^2+(8m-6m^2)x+(9m^2-24m-9)=0 \\y=mx -3m+4 \end{cases}$

a questo punto determiniamo $m$ in maniera tale che il sistema abbia un’unica soluzione, ossia che $\Delta_x =0$ , allora

$\Delta_x =0\iff (8m-6m^2)^2-4\cdot(1+m^2)\cdot(9m^2-24m-9)=0$

$64m^2+36m^4-96m^3-36m^2+96m+36-36m^4+96m^3+36m^2=0$

$64m^2+96m+36=0$

$\Delta_m=96^2-4\cdot 64\cdot 36=9216-9216=0$

$m_1=m_2={-96\pm 0\over 128}=-{3\over 4}$

Per cui la retta tangente è la stessa di prima, ossia $y=-{3\over 4}x+{25\over 4}$

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Quesito 6

Se proviamo a calcolare

$\lim_{x\to 0}{\sin x-(ax^3+bx)\over x^3}$

ci accorgiamo subito che siamo di fronte a una forma indeterminata del tipo $0/0$ e quindi, viste anche le caratteristiche della funzione, siamo dentro le ipotesi del teorema di de l’Hopital. Per cui

$\lim_{x\to 0}{\sin x-(ax^3+bx)\over x^3}=\lim_{x\to 0}{\cos x-(3ax^2+b)\over 3x^2}$

questo secondo limite ha il numeratore che tende a $1-b$ mentre il denominatore tende a $0$ , pertanto se vogliamo che il limite complessivo tendi a $1$ abbiamo come unica soluzione che anche il numeratore tenda a $0$ (infatti se sopra ci fosse un qualunque numero diverso da 0 oppure $\pm\infty$ il limite sarebbe $\pm\infty$ ). Da questa osservazione possiamo capire che $1-b=0\Rightarrow b=1$ . Una volta determinato questo, per quello che abbiamo già detto, il nostro limite ottenuto tramite de l’Hopital verifica ancora le ipotesi del teorema (per $b=1$ ), pertanto

$\lim_{x\to 0}{\sin x-(ax^3+x)\over x^3}=\lim_{x\to 0}{\cos x-(3ax^2+1)\over 3x^2}=\lim_{x\to 0}{-\sin x-6ax\over 6x}=-{1\over 6}-a$

quindi abbiamo

$-{1\over 6}-a=1\Rightarrow a=-{7\over 6}$

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Quesito 7

La funzione definita a tratti

$f(x)=\begin{cases} -1+\arctan(x) &se\:x<0 \\ax+b &se\:x\ge 0 \end{cases}$

è una funzione derivabile in ogni suo parte quindi per determinare se è derivabile complessivamente bisogna capire cosa succede per $x=0$ . La funzione derivata $f'(x)$ è la funzione

$f'(x)=\begin{cases} {1\over 1+x^2} &se\:x<0 \\a &se\:x> 0 \end{cases}$

Per determinare per quali valori di $a$ e $b$ la funzione $f(x)$ è derivabile prima di tutto determiniamo le condizioni affinchè $f(x)$ è continua in $x=0$ e in seguito quella di derivabilità. $f(x)$ è continua in $x=0$ se

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)$

$\lim_{x\to 0^-}-1+\arctan(x)=\lim_{x\to 0^+}ax+b$

$-1=b$

Una volta determinato $b=-1$ determiniamo la condizione di derivabilità, ossia

$\lim_{x\to 0^-}f'(x)=\lim_{x\to 0^+}f'(x)$

$\lim_{x\to 0^-}{1\over 1+x^2} =\lim_{x\to 0^+}a$

$1=a$

Terminiamo l’esercizio rispondendo alla domanda sul teorema di Rolle. Le ipotesi del teorema sono: continuità, derivabilità è l’esistenza di due punti $x_1$ e $x_2$ tali che $f(x_1)=f(x_2)$ . Abbiamo già provato le prime due condizioni, verifichiamo se è possibile che si verifichi la terza. Osservando la derivata $f'(x)$ notiamo che questa è sempre strettamente positiva, ne segue che la funzione $f(x)$ è strettamente crescente e pertanto il teorema di Rolle non può mai verificarsi.

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Quesito 8

La funzione $f_a(x)=x^5-5ax+a$ con $a>0$ è una funzione continua e derivabile in tutto $R$ pertanto, dal teorema di Bolzano, possiamo stabilire che $f_a(x)$ con $a>0$ ammette sempre almeno uno zero. Infatti

$lim_{x\to -\infty}f_a(x)=-\infty\:mentre\:lim_{x\to +\infty}f_a(x)=+\infty$

La funzione $f_a(x)$ quindi ammetterà tre zeri se partendo da meno infinito passa nella parte positiva delle $y$ poi scende di nuovo nella parte negativa e infine va verso più infinto, insomma se il suo andamento è quello rappresentato da questo grafico

Questa condizione, a livello matematico, può essere espressa dicendo che il massimo relativo della funzione deve essere positivo e il minimo relativo della funzione deve essere negativo, e quindi

$f_a^{max}\cdot f_a^{min}<0$

Una volta osservato questo andiamo a risolvere l’esercizio. Per prima cosa determiniamo l’espressione del massimo e del minimo relativo sapendo che i due punti annullano la derivata prima, pertanto

$f'_a(x)=0\iff 5x^4-5a=0\:con\: a>0\iff x=\pm\sqrt[4]a$

pertanto i punti di massimo e minimo hanno valori

$f_a(-\sqrt[4]a)=(-\sqrt[4]a)^5-5a(-\sqrt[4]a)+a=-\sqrt[4]{a^5}+5a\sqrt[4]a+a=a+4\sqrt[4]a$

e analogamente il minimo è

$f_a(+\sqrt[4]a)=a-4\sqrt[4]a$

da cui

$(a+\sqrt[4]a)\cdot (a-\sqrt[4]a)<0\:con\:a>0$

$a^2-16a^2\sqrt a<0\:con\:a>0$

$a^2\cdot (1-16\sqrt a)<0\:con\:a>0$

$1-16\sqrt a<0\:con\:a>0$

$a>{1\over\sqrt {256}}$

Esame di maturità scientifica svolto

Esame di maturità scientifico 2025 – prove svolte e simulazioni

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Firmato dal ministro Valditara il decreto che sancisce la materia della seconda prova nei licei scientifici ossia MATEMATICA (sia per per gli indirizzi sportivi che scienze applicate). Alcune prove sono svolte e risolte, di altre invece ci sono solo i testi. Inoltre riportiamo le notizie aggiornate sull’esame di maturità 2026

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