Nando vuole disegnare su un foglio quadrato di carta lo sviluppo di un cubo in modo che sia il più grande possibile. Comincia allora a considerare il caso in cui il segmento che individua l’asse di simmetria dello sviluppo del cubo è parallelo a un lato del foglio e la sua lunghezza coincide con quella del lato del foglio di carta. Poi si domanda se non può fare di meglio (aumentare le dimensioni dello sviluppo) collocando quest’asse su una diagonale del foglio. In questo modo, di quale percentuale aumenta al massimo il lato del cubo sviluppato sul foglio di carta? Se necessario, nel risultato sostituite al posto di e arrotondate la percentuale finale all’unità più vicina (ad esempio, se il risultato fosse , scrivete ).

Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016

SVOLGIMENTO

Quando posizioniamo lo sviluppo del cubo con gli spigoli del cubo paralleli ai lati del quadrato (che ipotizziamo misuri ), come in figura,

allora lo spigolo massimo del cubo misura . Più difficile è capire se messo in diagonale lo sviluppo piano occupa perfettamente il quadrato. Per capirlo notiamo che la diagonale del quadrato misura pertanto lo spigolo dello sviluppo piano, per entrare in diagonale nel quadrato, dovrà essere . In queste condizioni lo sviluppo piano entra perfettamente dentro il quadrato, come mostrato in figura.

In definitiva abbiamo da una parte uno spigolo pari a mentre nella seconda configurazione abbiamo uno spigolo di che corrisponde ad un aumento del . Ricordiamo che tale aumento lo possiamo calcolare con la proporzione

   

da cui otteniamo (circa) .

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