In figura vedete scritti in un certo modo i primi numeri interi non negativi. Qual è la somma dei primi cento numeri scritti in grassetto?
Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016
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Nando vuole disegnare su un foglio quadrato di carta lo sviluppo di un cubo in modo che sia il più grande possibile. Comincia allora a considerare il caso in cui il segmento che individua l’asse di simmetria dello sviluppo del cubo è parallelo a un lato del foglio e la sua lunghezza coincide con quella del lato del foglio di carta. Poi si domanda se non può fare di meglio (aumentare le dimensioni dello sviluppo) collocando quest’asse su una diagonale del foglio. In questo modo, di quale percentuale aumenta al massimo il lato del cubo sviluppato sul foglio di carta? Se necessario, nel risultato sostituite 
al posto di 
e arrotondate la percentuale finale all’unità più vicina (ad esempio, se il risultato fosse 
, scrivete 
).
Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016
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Molti numeri di due cifre si possono scrivere come somma di due numeri primi. Quale numero di due cifre ammette il più grande numero di decomposizioni di questo tipo (somma di due numeri primi)?
Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016
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Si è svolto recentemente un importante summit interplanetario a cui hanno partecipato la delegazione dei marziani e quella dei terrestri. I marziani hanno due gambe come i terrestri (compresi i piedi e le loro dieci dita) ma non hanno lo stesso numero di mani dei terrestri e una loro mano non ha lo stesso numero di dita (dei terrestri). Al summit, la delegazione dei marziani si è presentata con 
componenti in più di quella dei terrestri. Inoltre, il numero totale di dita delle mani e dei piedi della delegazione marziana è inferiore di 
unità al corrispondente numero della delegazione terrestre. Quanti erano in totale i partecipanti al summit?
Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016
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Cinque numeri interi relativi sono tali che le dieci somme che si ottengono addizionandoli a tre a tre in tutti i modi possibili valgono 
, 
, , 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Quali sono il più piccolo e il più grande di questi cinque numeri?
Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016
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Dopo aver coperto a velocità costante metà della distanza che separa Math-landia dall’isola di Mate, capitan Renato decide di aumentare la velocità del suo traghetto del 
. Il traghetto arriva così a destinazione mezz’ora prima del previsto. Quanti minuti è durata in totale la traversata?
Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016
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Quello che vedete in figura è un esempio di quadrato semi-magico: utilizzando tutti i numeri interi da a , presenta la stessa somma () su ciascuna riga e su ciascuna colonna. Non è magico perché le due diagonali presentano invece due somme (
e ) diverse da ; in questo caso la somma di queste due somme dà un totale di 
. Qual è il più grande totale che si può ottenere addizionando le somme degli elementi delle due diagonali di un quadrato semi-magico?
Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016
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Nel cronometro di Carla ciascuna cifra si “accende” tramite un certo numero di barrette illuminate, come vedete per le cifre riportate in figura (sei barrette per 
, due barrette per , cinque barrette per 
ecc.). Tra i secondi 
e 
, quante volte vedete acceso un numero di barrette uguale alla somma delle due cifre dei secondi?
Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016
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Scrivete tutti gli interi da a 
(inclusi) nei cerchietti della figura liberi dai numeri, in modo che le somme dei quattro numeri scritti in ognuno dei quattro quadrati siano sempre uguali a . Quale numero avete scritto, in particolare, nel cerchietto indicato con una freccia?
Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016
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Avevamo lasciato Amerigo alle prese con le addizioni. Adesso è passato alle moltiplicazioni e ha calcolato il prodotto per 6 di un numero di quattro cifre. Purtroppo, come vedete in figura, sette cifre si sono cancellate. Queste sette cifre sono rappresentate a sinistra, ma attenzione: “” e “” sono identiche, se vengono girate, e quindi non si sa con esattezza che numero rappresentino. Qual è il risultato della moltiplicazione di Amerigo?
Esercizio contenuto nella prova della finale italiana del 2016
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i numeri, tuttavia proviamo a vedere se è possibile trovare una formula. Vediamo che la successione dei numeri che dobbiamo sommare è del tipo 
, 
, 
, 
ecc, quindi progressivamente si somma prima 
, quando sommiamo i primi tre 
, poi 
, poi 
, poi 
, poi 
, poi 
quindi se mettiamo tutto all’interno di una tabella vediamo che
, 
, 
e così via, quindi la formula cercata è ![\[S(n)={n\over 3}\cdot \big ({(n+1)\cdot (n+2)\over 2}-3\big )\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-83e7a618de7d61e8e6c44dfdaeed935e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[S(100) )={100\over 3}\cdot \big ({(100+1)\cdot (100+2)\over 2}-3\big)=171600\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ccc798e4fa20300dfde6308ed5543654_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
), come in figura,
. Più difficile è capire se messo in diagonale lo sviluppo piano occupa perfettamente il quadrato. Per capirlo notiamo che la diagonale del quadrato misura 
pertanto lo spigolo dello sviluppo piano, per entrare in diagonale nel quadrato, dovrà essere 
. In queste condizioni lo sviluppo piano entra perfettamente dentro il quadrato, come mostrato in figura.
. Ricordiamo che tale aumento lo possiamo calcolare con la proporzione ![\[100:{l\over 4}=x:{l\sqrt 2\over 5}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55955c479b2f0838dd507d82c4c018f5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
sono relativamente pochi per risolvere questo esercizio possiamo determinare tutte le decomposizioni dei numeri di due cifre (notiamo che per fare questo esercizio è indispensabile sapere i numeri primi minori 
il numero dei marziani e 
il numero dei terrestri e sappiamo sicuramente che 
. Ora ragioniamo sull’informazione riguardante il numero di dita. Il numero di dita delle mani e dei piedi della delegazione marziana è 
siccome non sappiamo il numero di dita che possiede nelle braccia (
è il numero complessivo delle dita degli arti superiori). L’equivalente per i terrestri sarà![\[t\cdot 2\cdot 5+t\cdot 2\cdot 5\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c9148f38cdb67ebdde304d23c5579a6d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t\cdot 2\cdot 5+t\cdot 2\cdot 5-(m\cdot 2\cdot 5+m\cdot d_m)=1\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c3fdd421c95eba5c976398e6d62b3556_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t\cdot 2\cdot 5+t\cdot 2\cdot 5-((t+6)\cdot 2\cdot 5+(t+6)\cdot d_m)=1\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f04a7b21d0bf015b84bcd0c468664365_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t\cdot 2\cdot 5+t\cdot 2\cdot 5-(t\cdot 2\cdot 5+60+t\cdot d_m+6\cdot d_m)=1\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ade6f33280f3b20b87f36d821c79f2f2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t\cdot 2\cdot 5+t\cdot 2\cdot 5-t\cdot 2\cdot 5-60-t\cdot d_m-6\cdot d_m=1\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-325291bfbfe7ff03aa315d344b8f6edc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[10 t-t\cdot d_m-6\cdot d_m=61\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d59fc106452c623bdfccf52411d61344_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t\cdot (10-d_m)-6\cdot d_m=61\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f1ac59c55a610ebd0c81eb9288eab69c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t={61+6\cdot d_m\over 10-d_m}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d5d36b16783d4baba15d7aec5419bf5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e intero e quindi 
. Per cui, provando i nove numeri che abbiamo a disposizione, troviamo che 
, infatti in tutti gli altri casi verrebbe 
, 
e i partecipanti sono 
.
, 
, 
, 
ed 
, inoltre siccome le dieci somme sono tutte diverse tra di loro tra quei cinque numeri non ce ne possono essere due uguali. Immaginiamo anche che tali numeri siano scritti in ordine crescente. Una volta ipotizzato questo sappiamo sicuramente che 
e che 
da cui sicuramente 
e pertanto ci possiamo trovare al massimo in due configurazioni: 
oppure 
. Quindi sicuramente 
da cui segue che le configurazioni possibili per la 
, 
oppure 
. In definitiva ci siamo ristretti a sei configurazioni. Una volta fatto questo possiamo tranquillamente fare i conti e notare che la configurazione cercata è 
, 
, 
ed 
.![\[v={\Delta x\over \Delta t}\Rightarrow \Delta t={\Delta x\over v}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-76894fc48adb9eb7202d243ea3568b35_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, abbiamo che![\[30\:minuti={\Delta x\over v}-{\Delta x\over 1,25\cdot v}={0,25\cdot \Delta x\over 1,25\cdot v}={1\over 5}\cdot \Delta t_1\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ae85379e29e73e95f73d1dc18ba1ef19_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, cioè il tempo necessario per fare la prima metà della traversata, è 
e quindi il tempo totale è 
.
pertanto le righe e le colonne dovranno essere quelle già scritte. Siccome non ci interessa la somma delle diagonali vuole dire che noi possiamo invertire tranquillamente due righe o due colonne e ottenere ancora un quadrato semi-magico. Infine osserviamo che la somma delle diagonali è massima se le cifre maggiori sono sulla diagonale e se la cifra 
NUMERO CERCATO
NUMERO CERCATO
oppure 
. Notiamo anche che nonostante siamo riusciti a capire esattamente che nei cerchi in alto a sinistra ci vadano i numeri 
e 
. Utilizzando queste informazioni e facendo pochissimi tentativi si arriva alla moltiplicazione cercata che è 