Un cilindro di volume 
contiene un gas perfetto monoatomico alla temperatura di 
e alla pressione di 
. Poi, lentamente, in modo da non far variare la temperatura con una pompa si inietta una certa quantità di gas che fa raddoppiare la pressione all’interno del cilindro. Calcola il numero di moli del gas aggiunto e l’energia interna iniziale.
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Un recipiente chiuso contiene una certa quantità di elio, un gas monoatomico con massa pari a 
. Il gas viene scaldato da 
a 
e la sua energia interna aumenta di 
. Calcola la massa di elio contenuta nel recipiente.
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Un recipiente contiene 
di un gas perfetto monoatomico alla temperatura di 
. Il gas viene scaldato a volume costante. La pressione del gas aumenta del 
rispetto al valore iniziale. Calcola la temperatura finale del gas. Calcola la variazione di energia interna del gas.
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All’interno di un forno a chiusura ermetica ci sono 
di azoto e 
di ossigeno. L’energia interna dell’aria dentro il forno è 
. La massa delle molecole di azoto è 
, mentre quella delle molecole di ossigeno è 
. Calcola la temperatura dentro il forno. Calcola la velocità quadratica media delle molecole di azoto e ossigeno.
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Una bombola di ossigeno contiene 
di massa . La velocità quadratica media delle molecole è 
. A che temperatura si trova l’ossigeno all’interno della bombola? Calcola l’energia interna del sistema.
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Una bombola di ossigeno contiene di massa . La velocità quadratica media delle molecole è . A che temperatura si trova l’ossigeno all’interno della bombola? Calcola l’energia interna del sistema.
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Una lampada al neon contiene 
di neon. Quando la lampada è spenta l’energia interna del gas è 
. Le interazioni tra le molecole sono trascurabili. Calcola l’energia cinetica media delle molecole di neon. A che temperatura si trova il gas?
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Un’automobile è parcheggiata su una strada di montagna in una giornata d’inverno in cui la temperatura è di 
. Gli pneumatici dell’automobile sono gonfiati ad azoto alla pressione di 
. Il volume interno di ciascuno pneumatico è 
. Calcola l’energia cinetica media delle molecole di azoto. Qual è l’energia interna dell’azoto?
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Una bombola che ha una capacità di 
contiene 
di azoto a pressione atmosferica. Il gas viene raffreddato in modo che la sua energia interna diminuisca di 
. Calcola la temperatura finale del gas.
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Un cilindro con pistone mobile contiene 
di ossigeno a pressione atmosferica e alla temperatura di 
. Il gas viene riscaldato fino alla temperatura di 
. Calcola l’aumento di energia interna del gas.
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, 
e 
. Inoltre sappiamo come sono legate queste tre grandezze. Una volta ricordato questo possiamo scrivere ![\[p_iV_i=n_iRT_i\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-68507e6a9050e14712a64694ba6de843_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[p_fV_f=n_fRT_f\:che\:diventa\:2P_iV_i=n_fRT_i\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d4e9ad6008fc3de6885fa568f9f6b0ac_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2={n_f\over n_i}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4b9364717ea9aab11ef39ff12613858c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Quindi![\[n_i={p_iV_i\over RT_i}={101325\:Pa \cdot 1,00\times 10^{-3}\:m^3\over 8,314\:J/(mol\cdot K)\cdot 273\:K }\approx 0,045\:mol\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-af71d6ff8c2938c3941834ba178821e5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
sono esattamente 
. Invece l’energia interna iniziale è![\[U={3\over 2}nRT_i={3\over 2}\cdot 0,045\:mol\cdot 8,314\:J/(mol\cdot K)\cdot 273\:K\approx 153,2\:J\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3334127c98ad8aad7d8d641151f8253a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\Delta U={3\over 2}nR\Delta T\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2830980838e4fb879c71ddce2c413e7b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[n={2U\over 3R\Delta T}={2\cdot 9500\:J\over 3\cdot 8,314\:J/(mol\cdot K)\cdot (403\:K-343\:K)}\approx 12,7\:mol\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-782a94cd7dc92e95e9a07544c2c266bd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[m_e=4,00\:g/mol\cdot 12,7\:mol=50,8\:g\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cae455c0b7d0a97d84edffbae3e9e20_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[p_iV_i=nRT_i\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c5fb5bb1460d6fdf080e2f2a1e19f7b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[p_fV_f=nRT_f\:che\:diventa\:1,28P_iV_i=nRT_f\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c335de2e2fe3a8c045504af85635adb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[1,28={T_f\over T_i}\Rightarrow T_f=1,28T_i=1,28\cdot 356\:K=455,68\:K\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66166d2acaad55c486923fe4fca188b8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\Delta U={3\over 2}nR\Delta T={3\over 2}\cdot 2,60\:mol\cdot 8,314\:J/(mol\cdot K)\cdot (455,68\:K-356\:K)\approx 3232\:J\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ba26233fe006df1d080dd5e0423fe7cd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[U={5\over 2}nRT={5\over 2}{N\over N_A}RT \Rightarrow T={2UN_A\over 5NR}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aac4445baad9d9ebd81a130db973debf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[T={2UN_A\over 5NR}={2\cdot 4,78\times 10^4\:J \cdot 6,022\times 10^{23}\over 5\cdot (3,38\times 10^{24}\:molecole+9,09\times 10^{23}\:molecole)\cdot 8,314\:J/(mol\cdot K)}\approx 323\:K\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f1b07ad6ee8a641253da177362ec9d62_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, per cui![\[<v>_o=\sqrt{3k_BT\over m_o}=\sqrt{3\cdot 1,381\times 10^{-23}\:J/K \cdot 323\:K \over 5,31\times 10^{-26}\:kg }\approx 502\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d83c24f6cc559780f433bdd5aee1900_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[<v>_a=\sqrt{3k_BT\over m_a}=\sqrt{3\cdot 1,381\times 10^{-23}\:J/K \cdot 323\:K \over 4,65\times 10^{-26}\:kg }\approx 536\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cc40926fb9e2cd9733d93bf56cbff701_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[<v>=\sqrt{3k_BT\over m}\Rightarrow T={m<v>^2\over 3k_B}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-854dcb614f896fcbbc063ecd6e4a78cd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[T={m<v>^2\over 3k_B}={5,31\times 10^{-26}\:kg \cdot (474\:m/s)^2\over 3\cdot 1,381\times 10^{-23}\:J/K} \approx 288\:K\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b186b4ef34f3cc57e73e16ec2b3d0f0b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[U={5\over 2}nRT={5\over 2}{N\over N_A}RT={5\over 2}\cdot {3,82\times 10^{23}\:molecole \over 6,022\times 10^{23}\:molecole/mol}\cdot 8,314\:J/(mol\cdot K)\cdot 288\:K \approx 3,8\times 10^3\:J\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ccf025d704f80cfdcc8b8f0a013e995e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[<v>=\sqrt{3k_BT\over m}\Rightarrow T={m<v>^2\over 3k_B}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5662ee7d9a1165fd7985b70b30f330d7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[T={m<v>^2\over 3k_B}={5,31\times 10^{-26}\:kg \cdot (474\:m/s)^2\over 3\cdot 1,381\times 10^{-23}\:J/K} \approx 288\:K\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1bb9163096361f1a8b115485be1beb59_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[K_m={3\over 2}K_BT\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-670d107fe37fcb2154b3b02b96ad736c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
per cui![\[T={2U\over 3nR}={2\cdot 2,21\:J\over 3\cdot 6,01\times 10^{-4}\:mol \cdot 8,314\:J/(mol\cdot K)}\approx 295\:K\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55addb44490638076af8f59b80c2ede2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[K_m={3\over 2}K_BT ={3\over 2}\cdot 1,381\times 10^{-23}\:J/K \cdot 295\:K\approx 6,11\times 10^{-21}\:J\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cb709480b813152ad98b47d38de5414_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[K_m={5\over 2}K_BT\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aa489857ecbabdd17f8dde6d261ff406_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[K_m={5\over 2}K_BT ={5\over 2}\cdot 1,381\times 10^{-23}\:J/K \cdot 263,15\:K\approx 9,08\times 10^{-21}\:J\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1b9bdcacd5d625c9e681c434ead8b22f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[U={5\over 2}PV={5\over 2}\cdot 2,00\times 10^5\:Pa\cdot 0,113\:m^3\approx56500\:J\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-17074616033596b22b1f782ed0313ed9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[U={5\over 2}nRT\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f3f42ea7d849afcaf56f105c7a822b0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
possiamo esprimerla con la formula![\[\Delta U={5\over 2}nR(T_f-T_i)\Rightarrow T_f={2\Delta U\over 5nR}+T_i\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b248bfd3551cb286f5378cb03ec2bda1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ossia![\[T_i={PV\over nR}={101325\:Pa \cdot 0,015\:m^3\over 0,500\:mol\cdot 8,314\:J/(mol\cdot K)}\approx 365,6\:K\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-27c3ce7650410132918c3f442e74c1b4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[T_f={2\Delta U\over 5nR}+T_i ={2\cdot (-1250\:J)\over 5\cdot 0,500\:mol\cdot 8,314\:J/(mol\cdot K)}+365,6\:K\approx 245\:K\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-833004db96c983da91c7fb876bda0811_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\Delta U={5\over 2}nRT_f-{5\over 2}nRT_i={5\over 2}nR\Delta T\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eb0af7e4880bdb6692d845dc873ea678_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
prima calcoliamo il numero di moli e poi completiamo l’esercizio. Ossia![\[n={PV\over RT}={101325\:Pa \cdot 0,27\:m^3\over 8,314\:J/(mol\cdot K)\cdot 298,15\:K}\approx 11\:mol\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8aeaebc386a9ef1ca1884bf362ef7590_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\Delta U={5\over 2}nR\Delta T ={5\over 2}\cdot 11\:mol \cdot 8,314\:J/(mol\cdot K)\cdot 298\:K\approx 6,8\times 10^4\:J\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f39d3ad65c751917f4a19f8bd6d600f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")