Lanci verso l’alto una palla che si trova a terra con una velocità iniziale pari a 
. Calcola: la velocità della palla dopo 
e l’altezza raggiunta; la velocità della palla dopo 
e l’altezza raggiunta.
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Una palla è lanciata in alto verticalmente da una altezza di 
da terra. Resta in aria per 
e poi ritorna al punto di partenza. Quale è la velocità iniziale della palla?
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Un giocoliere lancia verticalmente una pallina. Nell’istante in cui raggiunge il punto più alto, 
al di sopra del punto di partenza, ne lancia un’altra con la stessa velocità iniziale. A quale altezza si incontrano le due palline? Che velocità hanno al momento dell’incontro?
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Lanci una palla verso l’alto con velocità iniziale di 
e una palla identica con la stessa velocità iniziale ma verso il basso. Il suolo dista 
dalla posizione di partenza. Calcola il tempo che entrambe impiegano ad arrivare a terra.
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Lanci una moneta verso l’alto in verticale da un’altezza di 
dal suolo per decidere a testa o croce se fare o meno i compiti di fisica. La moneta sale fino a un’altezza massima di 
dal punto di lancio. Determina la velocità iniziale della moneta. Afferri la moneta in caduta alla stessa altezza dalla quale l’avevi lanciata: per quanto tempo resta in aria (tempo di volo)? Immagina invece di non afferrare la moneta nella posizione dalla quale l’avevi lanciata. Quanto tempo passa dall’istante del lancio iniziale a quando la moneta tocca il suolo?
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Una pallina da tennis è lanciata verso l’alto con una velocità iniziale di 
e viene ripresa alla stessa altezza da terra dalla quale era stata lanciata. Quanto vale la massima altezza raggiunta dalla pallina? Per quanto tempo la pallina rimane in aria (tempo di volo)? Disegna il grafico velocità-tempo della pallina.
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Durante un allenamento di parkour un ragazzo esegue un salto verso l’alto partendo da un gradino alto 
, con una velocità iniziale di 
. Dopo quanto tempo il ragazzo raggiunge l’altezza massima? Determina l’altezza massima raggiunta da terra.
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Un giocoliere lancia una pallina verso l’alto, con una velocità iniziale pari a 
. Che altezza massima raggiunge la pallina, rispetto a quella iniziale?
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Un astronauta sulla Luna lancia un sasso verso l’alto. Nella figura sono rappresentate le velocità del sasso in alcuni istanti
Qual è la velocità con cui il sasso è stato lanciato?
In quale istante il sasso smetterà di salire?
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Un’auto in moto a velocità costante 
si ferma con accelerazione di valore costante in 
. Quanto vale la distanza di arresto se, a parità di accelerazione, la sua velocità iniziale è 
?
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![\[\Delta s={v_f^2-v_i^2\over 2a}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-174a6dcdddacd2d83b63a0af11cfab86_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[a={\Delta v\over \Delta t}={v_f-v_i\over \Delta t}\Rightarrow v_f=a\cdot \Delta t+v_i\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55bd5094a9860acf4a613358fa80e275_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_f(1\:s)=a\cdot \Delta t+v_i=-9,81\:m/s^2\cdot 1\:s+12,5\:m/s\approx 2,7\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d924377904a2c31cbc2c2adcf23d959f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_f(2\:s)=a\cdot \Delta t+v_i=-9,81\:m/s^2\cdot 2\:s+12,5\:m/s\approx -7,1\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7eae64aaae534ce55f1aed9b5e704be1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\Delta s_1={v_{f1}^2-v_i^2\over 2a}={(2,7\:m/s)^2-(12,5\:m/s)^2\over 2\cdot (-9,81\:m/s^2)}\approx 7,6\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96b8300434e2f6b4f13e58a1a0eca8d4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\Delta s_2={v_{f2}^2-v_i^2\over 2a}={(-7,1\:m/s)^2-(12,5\:m/s)^2\over 2\cdot (-9,81\:m/s^2)}\approx 5,4\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b55a1aa9bf783fcc274200432486d575_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
la pallina passa da una velocità iniziale 
a un velocità finale 
nulla (ricordiamo infatti che il punto di massima altezza coincide con il punto a velocità nulla). Per cui, tra le ![\[a={\Delta v\over \Delta t}={v_f-v_i\over \Delta t}\Rightarrow v_i=v_f-a\cdot \Delta t\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b33ad0bd592bf81201dd81da2a594afa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_i=v_f-a\cdot \Delta t=0\:m/s-(-9,81\:m/s^2)\cdot 4\:s\approx 39\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dd3422d66da8d9d236703b568fe02759_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\Delta s={v_f^2-v_i^2\over 2a}\Rightarrow v_i=\sqrt{v_f^2-\Delta s\cdot 2\cdot a}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-599af5f9f1363f22040d4844073e8434_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_i=\sqrt{v_f^2-\Delta s\cdot 2\cdot a}=\sqrt{(0\:m/s)^2-0,60\:m\cdot 2\cdot (-9,81\:m/s^2)}\approx 3,43\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0b63a68870db216b0913f276e7ebae_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[s_1(t)=s_2(t)\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9ffecd13c765d064ea5f582085670840_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove parte la seconda pallina, e l’istante 
quando parte la seconda pallina (e la prima pallina si trova nel punto più alto). In questo sistema di riferimento le due leggi orarie diventano![\[s_1(t)=s_1(0)+v_1(0)t+{1\over 2}at^2=0,60\:m+0\:m/s\cdot t+{1\over 2}\cdot (-9,81\:m/s^2)\cdot t^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-788d94d1ac196a4936394edd06b00e77_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[s_2(t)=s_2(0)+v_2(0)t+{1\over 2}at^2=0\:m+3,43\:m/s\cdot t+{1\over 2}\cdot (-9,81\:m/s^2)\cdot t^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-682366bbe23bd337e0fe5678a1745709_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
diventa![\[0,60\:m-{1\over 2}\cdot 9,81\:m/s^2\cdot t^2=3,43\:m/s\cdot t-{1\over 2}\cdot 9,81\:m/s^2\cdot t^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4a3d52ded0af965aeccc721b0dbafe6c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[0,60\:m=3,43\:m/s\cdot t\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ff01dd3da59d232c473ddb82e1907858_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t={0,60\:m\over 3,43\:m/s}\approx 0,175\;s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f4b56100a0756350a6c947696ee69861_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[s_1(0,175\:s)=s_2(0,175\:s)=0,60\:m-{1\over 2}\cdot 9,81\:m/s^2\cdot (0,175\:s)^2\approx 0,45\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9eb4276c4ebf29ede4a402f1eb8ec959_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_{1f}=a\cdot \Delta t+v_{1i}=-9,81\:m/s^2\cdot 0,175\:s+0\:m/s\approx -1,7\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-28eca3e7f38efd2fb3c6395a5fde9522_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_{2f}=a\cdot \Delta t+v_{2i}=-9,81\:m/s^2\cdot 0,175\:s+3,43\:m/s\approx 1,7\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f1fee5189eb81858df733ab765e6974a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[s(t)=s(0)+v(0)t+{1\over 2}at^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5619334815e1893d0b154638e290f560_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[-1,5\:m=0\:m+2\:m/s\cdot t+{1\over 2}\cdot (-9,81\:m/s^2)\cdot t^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c7d37bb342d6398e49a688acb18206e0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[4,905\:m/s^2\cdot t^2-2\:m/s\cdot t-1,5\:m=0\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40203d4e21ab5f3a405b2b7bb3a352dc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\Delta=(-2\:m/s)^2-4\cdot4,905\:m/s^2\cdot(-1,5\:m)=33,43\:(m/s)^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d1aa013286d79850db6e7a1be7e0c7d3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t_{1,2}={2\:m/s\pm\sqrt{33,43\:(m/s)^2}\over 9,81\;m/s^2}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c9578d9c47d564a434d34b81bb5aa6b6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e 
dove la soluzione negativa la dobbiamo rifiutare, quindi il tempo necessario è 
. Per la seconda pallina, quella con velocità iniziale verso il basso, la legge oraria sarà![\[-1,5\:m=0\:m-2\:m/s\cdot t+{1\over 2}\cdot (-9,81\:m/s^2)\cdot t^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b7dc8473232dc5322d1030b4f697bd68_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[4,905\:m/s^2\cdot t^2+2\:m/s\cdot t-1,5\:m=0\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e21b2c412cb953b14516e92634bd1037_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\Delta=(2\:m/s)^2-4\cdot4,905\:m/s^2\cdot(-1,5\:m)=33,43\:(m/s)^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6cb2f635e71ad1e0409d171dc9957db5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t_{1,2}={-2\:m/s\pm\sqrt{33,43\:(m/s)^2}\over 9,81\;m/s^2}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a910d741b1dd5084ae4ef8533757da61_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e 
dove anche qui dobbiamo rifiutare la soluzione negativa e pertanto il tempo necessario è 
. Osserviamo esplicitamente che si può risolvere il problema anche considerando che il moto della prima pallina e il moto della seconda pallina sono profondamente legati, infatti quando la prima pallina torna al punto di partenza si trova esattamente nella configurazione della seconda pallina, abbiamo scelto di risolvere il problema utilizzando la legge oraria per fare un po’ di allenamento anche sulla risoluzione delle equazioni di secondo grado che sono argomento fondamentale del programma di seconda liceo.
![\[v_i=\sqrt{v_f^2-\Delta s\cdot 2\cdot a}=\sqrt{(0\:m/s)^2-0,3\:m\cdot 2\cdot (-9,81\:m/s^2)}\approx 2,4\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f51f84d9d1e6be21872e7b735022fc8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che avrà portato la sua velocità da 
a 
e un tratto in discesa, sempre di 
, che porterà la sua velocità da 
, cioè alla stessa velocità che aveva al momento della partenza ma diretta nella direzione opposta, cioè verso il basso. Pertanto per calcolare il tempo di volo possiamo usare la definizione di accelerazione, infatti![\[a={\Delta v\over \Delta t}={v_f-v_i\over \Delta t}\Rightarrow \Delta t={v_f-v_i\over a}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1da456f8abff47a5fd6e081a45c190d4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\Delta t={v_f-v_i\over a}={-2,4\:m/s-2,4\:m/s\over -9,81\:m/s^2}\approx 0,49\:s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2c9b0cd930a68d21ee12f33d9cca5f67_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, cioè la metà del tempo di volo calcolato nel punto due, e il secondo tratto in discesa di velocità iniziale 
e accelerazione uguale a quella di gravità. Con questi dati a disposizione possiamo utilizzare la legge oraria per determinare il tempo necessario alla moneta a percorrere questo tratto in discesa, infatti![\[s(t)={1\over 2}at^2\Rightarrow t=\sqrt{2\cdot s(t)\over a}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-281b0e4df72fa332c94b0ebb83ec598e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t=\sqrt{2\cdot s(t)\over a}=\sqrt{2\cdot 1,2\:m\over 9,81\:m/s^2}\approx 0,49\;s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df558a4ea9b9869857feab07afe839e7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.![\[\Delta s={v_f^2-v_i^2\over 2a}={(0\:m/s)^2-(20\:m/s)^2\over 2\cdot (-9,81\;m/s^2)}\approx 20,4\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e889a15cc7fba7a45ec070bde11115e8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che avrà portato la sua velocità da 
, che porterà la sua velocità da 
, cioè alla stessa velocità che aveva al momento della partenza ma diretta nella direzione opposta, cioè verso il basso. Pertanto per calcolare il tempo di volo possiamo usare la definizione di accelerazione, infatti![\[\Delta t={v_f-v_i\over a}={-20\:m/s-20\:m/s\over -9,81\:m/s^2}\approx 4,1\:s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d7b4153a884954e6893686090d5c5799_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e il tempo necessario a passare dalla velocità iniziale a quella finale circa 
, per cui
![\[\Delta t={0\:m/s-5,2\:m/s\over -9,81\:m/s^2}\approx 0,53\:s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-13be6f482c21023cfbfd09813dbb40cc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\Delta s={v_f^2-v_i^2\over 2a}={(0\:m/s)^2-(5,2\:m/s)^2\over 2\cdot (-9,81\:m/s^2)}\approx 1,38\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d30f8260c00da6eeadbf64b6a8227f8b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
di altezza rispetto all’altezza del suolo.![\[\Delta s={v_f^2-v_i^2\over 2a}={(0\:m/s)^2-(4,0\:m/s)^2\over 2\cdot (-9,81\:m/s^2)}\approx 0,82\:m\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cef49ba5971951073d49d9c894043836_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[a={\Delta v\over \Delta t}={v_f-v_i\over t_f-t_i}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-205c25545863a4443b11b72f4b965ee2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[g_{Luna}={v_f-v_i\over t_f-t_i}={1,04\:m/s-1,68\;m/s\over 0,6\:s-0,2\:s}=-1,6\:m/s^2\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bebf8039d4207260d4e0f91e5de0d83f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_i=v_f-a\cdot (t_f-t_i)\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e049d841ef3e1bd8c8c32e3ea8659cc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t_f=t_i+{v_f-v_i\over a}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d7084b04f626f78375d149dd7ce1f197_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[v_i=v_f-g_{Luna}\cdot (t_f-t_i)=1,68\:m/s-(-1,6\:m/s^2)\cdot (0,2\:s-0\:s)=2\:m/s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3a09e86d67656f28a1c0369692c879c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[t_f=t_i+{v_f-v_i\over g_{Luna}}=0,6\:s+{0\:m/s-1,04\:m/s\over -1,6\:m/s^2}=1,25\:s\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c1ab65ca001d3ee7c0439dec609a6ad_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\Delta s={-v_0^2\over 2a}\]](https://www.brevilezioni.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8668da5e3d4adb4470d598d67b7a7e9b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
allora lo spazio percorso aumenterà di un fatto 
. Pertanto lo spazio percorso sarà 
.