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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 125 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

Una molla di costante elastica $k=1600\: N/m$ è agganciata a un supporto orizzontale da cui viene lasciata pendere $(a)$ . Un blocco di ferro ( $d_{Fe}=7860\: kg/m^3$ ) di volume $1,0\cdot 10^{-3}\: m^3$ viene agganciato alla molla e questa si allunga di un tratto $x_1$ $(b)$ . Il blocco viene poi immerso completamente in un recipiente pieno d’acqua. All’equilibrio, la molla si è allungata di un tratto $x_2$ $(c)$ .

Determina la diminuzione percentuale dell’allungamento della molla quando il blocco è in acqua rispetto a quando non lo è.

SVOLGIMENTO

Dobbiamo calcolare la diminuzione percentuale dell’allungamento, quindi dal punto di vista matematico dobbiamo calcolare il valore

$v_\%={x_1-x_2\over x_1}\cdot 100$

Osserviamo esplicitamente che questa percentuale può essere calcolata con la proporzione

$x_1-x_2 : v_\%=x_1 : 100$

Una volta capito quello che dobbiamo calcolare andiamo a risolvere il problema pensando a come determinare $x_1$ e $x_2$ . Per determinare $x_1$ possiamo utilizzare esattamente la legge di Hooke dove la forza che tenderà a far allungare la molla, ossia l’opposto della forza elastica di richiamo, sarà esattamente la forza peso del cubetto. Ossia

$F_e=F_p=x_1\cdot k$

$x_1={F_e\over k}={F_p\over k}={m\cdot g\over k}={V\cdot d\cdot g\over k}$

$x_1={1,0\cdot 10^{-3}\: m^3\cdot 7860\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg\over 1600\: N/m}\approx 0,048\: m$

Nel calcolo di $x_2$ dobbiamo invece considerare che la forza che allungherà la molla sarà la risultante tra la forza peso (la stessa di prima) e la spinta di Archimede che tenderà a “sollevare” il cubetto. Ossia

$F_e=F_p-F_A=x_2\cdot k$

$x_2={F_p-F_A\over k}={m\cdot g-V\cdot d_{acqua}\cdot g\over k}={V\cdot d_{Fe}\cdot g-V\cdot d_{acqua}\cdot g\over k}$

$x_2={1,0\cdot 10^{-3}\: m^3\cdot 7860\: {kg\over m^3}\cdot 9,81\: {N\over kg}-1,0\cdot 10^{-3}\: m^3\cdot 1000\: {kg\over m^3}\cdot 9,81\: {N\over kg}\over 1600\: N/m}\approx 0,042\: m$

Da cui

$v_\%={0,048\: m-0,042\: m\over 0,048\: m}\cdot 100\approx 12,7\: \%$

Voglio osservare esplicitamente che tutti gli esercizi nei quali c’è la necessità di calcolare una percentuale conviene tenere le formule. Infatti, avendo un rapporto tra due grandezze similari, la formula si semplifica praticamente tutta, nel dettaglio di questo esercizio avremmo

$v_\%={x_1-x_2\over x_1}\cdot 100$

$v_\%={{V\cdot d_{Fe}\cdot g\over k}-{V\cdot d_{Fe}\cdot g-V\cdot d_{acqua}\cdot g\over k}\over {V\cdot d_{Fe}\cdot g\over k}}\cdot 100$

$v_\%={d_{Fe} -(d_{Fe}-d_{acqua})\over d_{Fe}}\cdot 100$

$v_\%={d_{acqua}\over d_{Fe}}\cdot 100={1000\: kg/m^3\over 7860\: kg/m^3}\cdot 100\approx 12,7\: \%$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 124 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un barometro a mercurio ( $d_{Hg}=13600\: kg/m^3$ ) consiste in un lungo bulbo di vetro con un’estremità aperta e l’altra estremità sigillata. Il bulbo viene riempito di mercurio e rovesciato in una bacinella contenente anch’essa mercurio. Quando si raggiunge l’equilibrio, il mercurio nel bulbo raggiunge una certa altezza $h$ rispetto alla superficie libera del mercurio nella bacinella.

Sopra la superficie libera del mercurio all’interno del bulbo non c’è aria.

Determina l’altezza $h$ raggiunta dal mercurio nel bulbo, in un luogo in cui la pressione atmosferica è $0,85\: atm$ .
Se utilizziamo acqua ( $d_a=1000\: kg/m^3$ ) al posto del mercurio, quale altezza raggiunge l’acqua nel bulbo nello stesso luogo?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la situazione di equilibrio si ottiene quando la pressione del mercurio esercitata dalla colonnina di altezza $h$ all’interno del bulbo (calcolabile con la legge di Stevino) e la pressione atmosferica che l’aria esercita sulla superficie di mercurio all’interno della bacinella saranno uguali, ossia

$p_{Hg}=p_{atm}$

$d_{Hg}\cdot h\cdot g=p_{atm}$

$h={p_{atm}\over d_{Hg}\cdot g }$

ossia

$h={0,85\cdot 101325\: Pa\over 13600\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg }\approx 0,65\: m$

Ovviamente se ci fosse dell’acqua all’interno del barometro l’unica cosa differente sarebbe la densità, infatti le leggi fisiche che governano questo fenomeno non dipendono dal fluido, per cui

$h={p_{atm}\over d_{acqua}\cdot g }$

$h={0,85\cdot 101325\: Pa\over 1000\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg }\approx 8,78\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 123 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Quale è il rapporto tra le altezze di una colonna d’acqua e una colonna di mercurio in due recipienti comunicanti?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che in un sistema di recipienti comunicanti la pressione che viene esercitata dal liquido all’interno di un recipiente è controbilanciata da quella dovuta al liquido nell’altro recipiente. Nel nostro esercizio in un recipiente c’è del mercurio e nell’altro dell’acqua, per cui possiamo scrivere

$p_{Hg}=p_{acqua}$

$d_{Hg}\cdot h_{Hg}\cdot g=d_{acqua}\cdot h_{acqua}\cdot g$

${h_{acqua}\over h_{Hg}}={d_{Hg}\over d_{acqua}}$

${h_{acqua}\over h_{Hg}}={13600\: kg/m^3\over 1000\: kg/m^3}=13,6$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 122 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Per stupire gli amici, vuoi succhiare dell’acqua minerale attraverso una lunghissima cannuccia verticale. Quale è la cannuccia più lunga da cui, in linea di principio, puoi succhiare l’acqua?

SVOLGIMENTO

Per rispondere a questa domanda bisogna prima cercare di motivo per cui, quando succhi dalla cannuccia, l’acqua si muove contro la gravità verso l’alto. Osserviamo sicuramente che la motivazione non è la forza esercitata nel risucchiare l’acqua. La ragione di tale salita risiede nella pressione atmosferica che preme sulla superficie dell’acqua, quando noi risucchiamo l’aria la pressione dentro la cannuccia diminuisce e quindi l’acqua sale. Per questa ragione la lunghezza massima di una cannuccia verticale si ottiene quando noi riusciamo a creare il vuoto all’interno della cannuccia, in questa situazione la pressione dell’aria sulla superficie dell’acqua minerale è controbilanciata perfettamente dalla pressione della colonna d’acqua all’interno della cannuccia. Per cui

$p_{atm}=p_{acqua}$

$p_{atm}=d_{acqua}\cdot h_{max}\cdot g\Rightarrow h_{max}={p_{atm}\over d_{acqua}\cdot g}$

$h_{max}={101325\: Pa\over 1000\: kg/m^3\cdot 9,81\; N/kg}\approx 10,33\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 121 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Supponi di versare dell’acqua in un contenitore fino a che essa non raggiunge un’altezza di $12\: cm$ . In seguito, versi lentamente uno strato di olio di $7,2\: cm$ di olio d’oliva, in modo che galleggi sulla superficie dell’acqua. Calcola la pressione sul fondo del contenitore.

SVOLGIMENTO

Dobbiamo calcolare la pressione esercitata da un fluido (in questo caso due) a una determinata profondità. Sappiamo che la legge di Stevino risponde a questo tipo di domanda. Per completare la risposta osserviamo che bisognerà applicare la legge di Stevino due volte per calcolare sia la pressione causata dallo strato di olio sia la pressione causata dallo strato d’acqua. In definitiva

$p=p_{atm}+d_{olio}\cdot h_{olio}\cdot g+d_{acqua}\cdot h_{acqua}\cdot g$

$p=101325\: Pa+920\: kg/m^3\cdot 0,072\: m\cdot 9,81\: N/kg+1000\: kg/m^3\cdot 0,12\: m\cdot 9,81\: N/kg\approx 1,03\cdot 10^5\: Pa$

Osserviamo esplicitamente che abbiamo utilizzato come dato $d_{olio}=920\: kg/m^3$ .

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 120 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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L’oblò circolare di un sottomarino ha un diametro di $30\: cm$ ed è stato progettato per sopportare una forza massima di intensità $5,20\cdot 10^5\: N$ . Quale è la massima profondità a cui può immergersi il sottomarino nell’acqua dolce di un lago senza che l’oblò subisca danni?

SVOLGIMENTO

La forza esercitata dall’acqua sull’oblò è dovuta alla pressione dell’acqua e la possiamo calcolare utilizzando la definizione di pressione, cioè

$p={F\over A}={F\over r^2\cdot \pi}\Rightarrow F=p\cdot r^2\cdot \pi$

Inoltre la pressione dell’acqua alla profondità $h$ possiamo calcolarla utilizzando la legge di Stevino, ossia

$p=p_{atm}+d\cdot h\cdot g$

dove dobbiamo mettere il termine $p_{atm}$ in quanto sulla superficie del lago agisce la pressione dell’aria. Unendo le due formule otteniamo

$F=(p_{atm}+d\cdot h\cdot g)\cdot r^2\cdot \pi$

$F=p_{atm}\cdot r^2\cdot \pi+d\cdot h\cdot g\cdot r^2\cdot \pi$

$F-p_{atm}\cdot r^2\cdot \pi=d\cdot h\cdot g\cdot r^2\cdot \pi$

$h={F-p_{atm}\cdot r^2\cdot \pi\over d\cdot g\cdot r^2\cdot \pi}$

Ovviamente la profondità massima la otterremo quando la forza esercitata sull’oblò sarà la forza massima, quindi

$h_{max}={5,20\cdot 10^5\: N-101325\: Pa\cdot 0,15^2\: m^2\cdot \pi\over 1000\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,15^2\: m^2\cdot \pi}\approx 740\: m$

Osserviamo esplicitamente che la profondità è $740\: m$ e non $750\: m$ , infatti se noi calcolassimo la forza esercitata a tale profondità verrebbe un valore superiore alla forza massima. Il $750\: m$ potrebbe venire dal non aver considerato la pressione atmosferica all’interno della legge di Stevino, però la pressione atmosferica, ripeto, deve essere messa perchè sul lago l’atmosfera esercita la sua pressione.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 119 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Mentre sta arrivando una tempesta, osservi che la colonnina di mercurio del barometro è a un’altezza di $740\: mm$ . Quale è la pressione dell’aria? Se il mercurio del barometro fosse sostituito con acqua, quale altezza raggiugerebbe l’acqua nella colonna?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che i barometri sono costruiti in maniera tale da equilibrare la pressione della colonna d’aria e la pressione della colonna di mercurio. La pressione della colonna di mercurio la calcoliamo con la legge di Stevino ricordando che la densità del mercurio è $d=13600\: kg/m^3$ . Per cui

$p_{atm}=p_{Hg}$

$p_{atm}=d\cdot h\cdot g$

dove osserviamo che non compare il termine $p_1$ perchè il barometro è chiuso sopra il mercurio e quindi la pressione atmosferica non agisce sulla superficie del mercurio.

$p_{atm}=13600\: kg/m^3\cdot 0,74\: m\cdot 9,81\: N/kg\approx 9,87\cdot 10^4\: Pa$

Se nel barometro fosse messa acqua al posto del mercurio avremmo ancora

$p_{atm}=p_{acqua}$

$p_{atm}=d_{acqua}\cdot h_{acqua}\cdot g\Rightarrow h_{acqua}={p_{atm}\over d_{acqua}\cdot g}$

$h_{acqua}={98700\: Pa\over 1000\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg}\approx 10,06\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 118 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una scatola cubica di lato $25\: cm$ è immersa in un fluido. La pressione sulla superficie superiore della scatola è $109,4\: kPa$ e quella sulla superficie inferiore è $112\: kPa$ . Quale è la densità del fluido?

SVOLGIMENTO

Dobbiamo calcolare la densità di un fluido conoscendo la pressione a varie quote di profondità all’interno dello stesso. Per risolvere questa tipologia di problemi, che mettono in relazione la pressione e la profondità, si utilizza la legge di Stevino, ossia

$p_2=p_1+d\cdot h\cdot g\Rightarrow d={p_2-p_1\over h\cdot g}$

quindi

$d={112000\: Pa-109400\: Pa\over 0,25\:m \cdot 9,81\: N/kg}\approx 1060\: kg/m^3$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 117 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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La diga di Assuan è alta $111\: m$ . Quale è la pressione dell’acqua sul fondo della diga?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che per risolvere questa tipologia di esercizio, cioè dove dobbiamo calcolare la pressione all’interno di un fluido a una determinata profondità, dobbiamo utilizzare la legge di Stevino, la quale ci dice che:

$p_2=p_1+d\cdot h\cdot g$

Nel nostro caso ovviamente la densità è quella dell’acqua e la pressione $p_1$ è la pressione atmosferica, siccome sulla superficie del lago l’atmosfera esercita la sua pressione. Ossia

$p_2=101325\: Pa+1000\: kg/m^3\cdot 111\: m\cdot 9,81\: N/kg\approx 1,19\cdot 10^6\: Pa$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 116 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Supponi che quando pedali sulla tua bicicletta di $7,70\: kg$ il tuo peso e quello della bicicletta siano sostenuti in modo uguale da entrambe le ruote. Se la pressione relativa nelle gomme è $486\: kPa$ e l’area di contatto tra ciascuna gomma e la strada è $7,13\: cm^2$ , quale è il tuo peso?

SVOLGIMENTO

La pressione relativa delle ruote determina una forza sulla asfalto che sorregge completamente il peso della bicicletta e del ciclista, ossia sappiamo che

$F_p=p_r\cdot A$

$F_p^{bic}+F_p^{cic}=p_r\cdot 2\cdot A_{gom}$

$m_{bic}\cdot g+F_p^{cic}=p_r\cdot 2\cdot A_{gom}$

$F_p^{cic}=p_r\cdot 2\cdot A_{gom}-m_{bic}\cdot g$

$F_p^{cic}=486000\: Pa\cdot 2\cdot 0,000713\: m^2-7,7\: kg\cdot 9,81\: N/kg\approx 617,5\: N$

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