Esercizio 101 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

I pesci dispongono di un organo, la vescica natatoria, simile a un sacchetto elastico. Le sue parete sono irrorate da numerosissimi capillari, tramite i quali il pesce può immettere gas (azoto, ossigeno e anche anidride carbonica) nella vescica, gonfiandola, oppure riassorbirli sgonfiandola. La quantità di gas contenuta all’interno della vescica è variabile; quest’ultima, aumentando o diminuendo di volume, permette al pesce di regolare la spinta di Archimede su se stesso.
Un grosso pesce di $1,96\: kg$ nuota orizzontalmente in mare ( $d=1025\: kg/m^3$ ). La densità media del pesce, con la vescica natatoria sgonfia, è maggiore di quella dell’acqua di mare, e vale $1060\: kg/m^3$ . La spinta di Archimede sul pesce vale $20,0\: N$ . Quale è il volume della vescica natatoria del pesce a quella profondità?

SVOLGIMENTO

Se il pesce nuoto orizzontalmente a quella profondità vuol dire che la densità del pesce coincide con la densità del liquido che ha attorno, ossia

$d_a=d_p$

$d_a={m_p+m_{aria}\over V_p+V_{vescica}}$

$V_{vescica}={m_p+m_{aria}-d_a\cdot V_p\over d_a}$

di quest’ultima formula che abbiamo scritto la massa del pesce la conosciamo e la densità dell’acqua la conosciamo. Rimane quindi da determinare $m_{aria}$ e $V_p$ . Il volume del pesce è facile da determinare osservando che

$V_p={m_p\over d_p}$

invece per calcolare la massa dell’aria osserviamo che la spinta di Archimede deve essere uguale alla forza peso del pesce, siccome il pesce nuota orizzontalmente, quindi

$F_a=F_p$

$F_a=F_{pesce}+F_{aria}$

$F_a=F_{pesce}+m_{aria}\cdot g$

$m_{aria}={F_a-F_{pesce}\over g}$

Quindi la formula scritta in precedenza per il calcolo di $V_{vescica}$ diventerà

$V_{vescica}={m_p+{F_a-F_{pesce}\over g}-d_a\cdot {m_p\over d_p}\over d_a}$

$V_{vescica}={1,96\: kg+{20,0\: N-1,96\: kg\cdot 9,81\: N/kg\over 9,81\: N/kg}-1025\: kg/m^3\cdot {1,96\: kg\over 1060\: kg/m^3}\over 1025\: kg/m^3}\approx 0,000140\: m^3$

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