Esercizio 103 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

Un lingotto è composto da una lega di oro ( $d=1,93\times 10^4\: kg/m^3$ ) e argento ( $d=1,05\times 10^4\: kg/m^3$ ) e ha la massa di $0,802\: kg$ . Se si immerge il lingotto in acqua distillata, appeso a un dinamometro, il suo peso risulta $7,19\: N$ . Quale volume di oro e quale volume di argento sono contenuti nel lingotto?

SVOLGIMENTO

Per la risoluzione di questo problema conosciamo diverse cose, proviamo a scriverle tutte in maniera ordinata. Intanto conosciamo la definizione di densità, ossia

$d_{oro}={m_{oro}\over V_{oro}}\Rightarrow V_{oro}={m_{oro}\over d_{oro}}$

$d_{argento}={m_{argento}\over V_{argento}}\Rightarrow V_{argento}={m_{argento}\over d_{argento}}$

poi sappiamo sicuramente che

$m_{tot}=m_{argento}+m_{oro}\Rightarrow m_{oro}=m_{tot}-m_{argento}$

$V=V_{oro}+V_{argento}$

Inoltre sappiamo che la forza misurata dal dinamometro è la risultante tra la forza peso, che tenderebbe a far affondare il lingotto, e la spinta di Archimede che tenderebbe a farlo galleggiare, ossia

$F_{din}=F_p-F_a=m_{tot}\cdot g-V\cdot d_{acqua}\cdot g$

Quindi se mettiamo a sistema queste equazioni e cerchiamo di ricavare i due volumi sostituendo nell’ultima troviamo

$F_{din}=m_{tot}\cdot g-(V_{oro}+V_{argento})\cdot d_{acqua}\cdot g$

${F_{din}\over g}=m_{tot}-(V_{oro}+V_{argento})\cdot d_{acqua}$

${F_{din}\over g}=m_{tot}-{m_{oro}\over d_{oro}}\cdot d_{acqua}-{m_{argento}\over d_{argento}}\cdot d_{acqua}$

${F_{din}\over g}=m_{tot}-{m_{tot}-m_{argento}\over d_{oro}}\cdot d_{acqua}-{m_{argento}\over d_{argento}}\cdot d_{acqua}$

${F_{din}\over g}=m_{tot}-{m_{tot}\over d_{oro}}\cdot d_{acqua}+{m_{argento}\over d_{oro}}\cdot d_{acqua}-{m_{argento}\over d_{argento}}\cdot d_{acqua}$

$m_{argento}\cdot ({d_{acqua}\over d_{oro}}-{d_{acqua}\over d_{argento}})={F_{din}\over g}-m_{tot}+{m_{tot}\over d_{oro}}\cdot d_{acqua}$

$m_{argento} =({F_{din}\over g}-m_{tot}+{m_{tot}\over d_{oro}}\cdot d_{acqua})/({d_{acqua}\over d_{oro}}-{d_{acqua}\over d_{argento}})$

$m_{argento} ={{7,19\: N\over 9,81\: N/kg}-0,802\: kg+{0,802\: kg\over 1,93\times 10^4\: kg/m^3}\cdot 10^3\: kg/m^3\over {10^3\: kg/m^3\over 1,93\times 10^4\: kg/m^3}-{10^3\: kg/m^3\over 1,05\times 10^4\: kg/m^3}}\approx 0,634\: kg$

$m_{oro}=m_{tot}-m_{argento}\approx 0,168\: kg$

Da cui

$V_{oro}={m_{oro}\over d_{oro}}={ 0,168\: kg\over 1,93\times 10^4\: kg/m^3}\approx 8,72\times 10^{-6}\: m^3$

$V_{argento}={m_{argento}\over d_{argento}}={0,634\: kg\over 1,05\times 10^4\: kg/m^3}\approx 6,04\times 10^{-5}\: m^3$

Osserviamo un paio di cose prima di concludere l’esercizio:
1- i risultati sono numeri estremamente piccoli quindi anche poche approssimazioni faranno cambiare il valore in maniera abbastanza significativa.
2- è facile controllare che i risultati ottenuti sono quelli corretti, infatti immaginiamo di avere due risultati alternativi come:

$V_{argento}=58,7\: cm^3$