Esercizio 45 sul primo principio della termodinamica – Esercizi svolti – FISICA

Una barra di rame e una di argento hanno entrambe sezione pari a $64,6\:cm^2$ e lunghezza pari a $1,4\:m$ ; le due barre sono poste in serie (una successivamente a l’altra). Qual è la conducibilità termica del sistema formato dalle due barre?

SVOLGIMENTO

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La tecnica risolutiva di questa tipologia di esercizi è una tecnica classica. Indichiamo con $\Delta T$ la differenza di temperatura che c’è tra gli estremi del sistema, questa differenza di temperatura si può scrivere come $\Delta T_r+\Delta T_a$ dove la prima indica la differenza di temperatura agli estremi della barra di rame mentre la seconda indica la differenza di temperatura agli estremi della barra di argento. Indichiamo con la lettera $d$ lo spessore totale del sistema che sarà uguale a $d_r+d_a$ . Come ultima cosa indichiamo con $Q$ la quantità di calore che attraversa il sistema, attenzione tutto il sistema quindi sia la parte di rame che la parte di argento. Una volta detto questo abbiamo che

${Q\over \Delta t}=\lambda\cdot S\cdot {\Delta T\over d}\Rightarrow \Delta T={Q\cdot d\over \lambda\cdot S }$

${Q\over \Delta t}=\lambda_r\cdot S\cdot {\Delta T_r\over d_r}\Rightarrow \Delta T_r={Q\cdot d_r\over \lambda_r\cdot S }$

${Q\over \Delta t}=\lambda_a\cdot S\cdot {\Delta T_a\over d_a}\Rightarrow \Delta T_a={Q\cdot d_a\over \lambda_a\cdot S }$

e ricordando che $\Delta T=\Delta T_r+\Delta T_a$ abbiamo

${Q\cdot d\over \lambda\cdot S }={Q\cdot d_r\over \lambda_r\cdot S }+{Q\cdot d_a\over \lambda_a\cdot S }$

${d\over \lambda }={ d_r\over \lambda_r }+{d_a\over \lambda_a }$

$\lambda ={ d\cdot \lambda_r\cdot \lambda_a\over d_r\lambda_a+d_a\lambda_r}$

$\lambda ={ 2,8\:m\cdot 400\:W/(m\cdot K)\cdot 430\:W/(m\cdot K)\over 1,4\:m\cdot 430\:W/(m\cdot K)+1,4\:m\cdot 400\:W/(m\cdot K)}\approx 414\:W/(m\cdot K)$

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