Esercizio 46 sul primo principio della termodinamica – Esercizi svolti – FISICA

Una vetrina con un vetro spesso $1,8\:cm$ viene protetta dal maltempo con una tamponatura di legno. Il coefficiente di conducibilità termica $\lambda$ del doppio strato di materiale risulta uguale a $0,30\:W/(m\cdot K)$ . Calcola lo spessore del pannello di legno.

SVOLGIMENTO

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La tecnica risolutiva di questa tipologia di esercizi è una tecnica classica. Indichiamo con $\Delta T$ la differenza di temperatura che c’è tra gli estremi del sistema, questa differenza di temperatura si può scrivere come $\Delta T_v+\Delta T_l$ dove la prima indica la differenza di temperatura agli estremi del vetro mentre la seconda indica la differenza di temperatura agli estremi del pannello di legno. Indichiamo con la lettera $d$ lo spessore totale del sistema che sarà uguale a $d_v+d_l$ . Come ultima cosa indichiamo con $Q$ la quantità di calore che attraversa il sistema, attenzione tutto il sistema quindi sia la parte di vetro che la parte di legno. Una volta detto questo abbiamo che

${Q\over \Delta t}=\lambda\cdot S\cdot {\Delta T\over d}\Rightarrow \Delta T={Q\cdot d\over \lambda\cdot S }$

${Q\over \Delta t}=\lambda_v\cdot S\cdot {\Delta T_v\over d_v}\Rightarrow \Delta T_v={Q\cdot d_v\over \lambda_v\cdot S }$

${Q\over \Delta t}=\lambda_l\cdot S\cdot {\Delta T_l\over d_l}\Rightarrow \Delta T_l={Q\cdot d_l\over \lambda_l\cdot S }$

e ricordando che $\Delta T=\Delta T_v+\Delta T_l$ abbiamo

${Q\cdot d\over \lambda\cdot S }={Q\cdot d_v\over \lambda_v\cdot S }+{Q\cdot d_l\over \lambda_l\cdot S }$

${d_v+d_l\over \lambda }={ d_v\over \lambda_v }+{d_l\over \lambda_l }$

${d_v\over \lambda }+{d_l\over \lambda }={ d_v\over \lambda_v }+{d_l\over \lambda_l }$

${d_l\over \lambda }-{d_l\over \lambda_l }={ d_v\over \lambda_v }-{d_v\over \lambda }$

$d_l\cdot ({1\over \lambda }-{1\over \lambda_l })={ d_v\over \lambda_v }-{d_v\over \lambda }$

$d_l=({ d_v\over \lambda_v }-{d_v\over \lambda })/({1\over \lambda }-{1\over \lambda_l })$

da cui

$d_l\cdot =({ 0,018\:m\over 0,93\:W/(m\cdot K) }-{0,018\:m \over 0,30\:W/(m\cdot K) })/({1\over 0,30\:W/(m\cdot K) }-{1\over 0,20\:W/(m\cdot K) })\approx 0,024\:m$

Brevi lezioni

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