Esercizio 52 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

Una scala di massa $18\: kg$ è appoggiata al muro, inclinata di $60^\circ$ rispetto all’orizzontale. Un uomo di massa $70\: kg$ può salire fino a tre quarti della scala, dopodiché questa comincia a scivolare sul pavimento. L’attrito con il muro è trascurabile. Calcola il coefficiente di attrito statico tra scala e pavimento.

SVOLGIMENTO

Consigliamo un disegno per capire appieno questo problema e per poter trattare in maniera appropriata tutte le forze presenti.
Fintanto che l’uomo non raggiunge i tre quarti della scala la forza di attrito tra scala e pavimento è sufficiente per tenere ferma la scala, vuol dire che quanto l’uomo raggiunge esattamente quella quota la forza esercitata dalla scala sul pavimento è uguale alla massimo forza di attrito possibile tra scala e pavimento, fino a quel momento la scala è in equilibrio, quindi la risultante delle forze e la risultante dei momenti, calcolati rispetto al punto di contatto tra la scala e il pavimento, sono entrambi nulli. Le forze che agiscono sulla scala sono cinque:
– la forza peso della scala applicata a metà della lunghezza della scala:
– la forza peso dell’uomo applicata a tre quarti della lunghezza della scala:
– la forza di reazione vincolare del muro applicata alla sommità del muro e diretta orizzontalmente:
– la forza di reazione vincolare del pavimento applicata verticalmente nel punto di contatto tra pavimento e scala:
– la forza di attrito statico tra scala e pavimento diretta in direzione orizzontale.
Pertanto

$F_{pavimento}=F_{scala}+F_{uomo}$

$F_{attrito}=F_{muro}$

$M_{scala}+M_{uomo}=M_{muro}$

dove il segno dei momenti è determinato dalla rotazione che le forze imprimerebbero alla scala, pertanto le due forze peso avranno momenti di segno concorde e saranno discordi rispetto alla forza di reazione vincolare del muro. Concentrandoci sulla formula dei momenti abbiamo

${L\over 2}\cdot 18\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot \sin{30^\circ}+{3L\over 4}\cdot 70\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot \sin{30^\circ}=L\cdot F_{muro}\cdot \sin{60^\circ}$

Dove $L$ è la lunghezza della scala (che nel passaggio successivo scompare perchè viene semplificata). Da questa formula, e dal fatto che la reazione vincolare del muro è uguale alla forza di attrito massimo, ottengo che

$F_{attrito}={{1\over 2}\cdot 18\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot \sin{30^\circ}+{3\over 4}\cdot 70\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot \sin{30^\circ}\over \sin{60^\circ}}$