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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 65 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

Un blocco di legno, di base quadrata di lato $l=4,2\: cm$ , altezza $h=9,6\: cm$ e di massa $350\: g$ è fermo su una superficie orizzontale. Il coefficiente di attrito statico tra il blocco e la superficie è $0,32$ . é possibile spingere il blocco con una forza orizzontale in modo che ruoti attorno a uno dei lati di base? In caso affermativo, quale è il modulo della forza? Dove va applicata?

SVOLGIMENTO

Se vogliamo far ruotare il blocco e non vogliamo che scorra sulla superficie orizzontale allora la forza applicata al blocco deve essere minore o uguale della forza di attrito, ossia

$F\leq F_a$

$F\leq m\cdot g\cdot \mu$

Una forza di tale modulo mi permette sicuramente di non avere uno scorrimento del blocco di legno sulla superficie orizzontale, mentre per avere una rotazione deve risultare che tale forza generi un momento di modulo superiore al momento della forza peso del blocco, ossia

$M_p\leq M_F$

dove, supponendo il blocco omogeneo e quindi tale che il suo baricentro sia posizionato nell’incrocio delle diagonali del parallelepipedo, risulterà

${l\over 2}\cdot m\cdot g\leq b_F\cdot F$

Queste sono le condizioni teoriche che devono essere rispettate dalla forza $\vec{F}$ e dal braccio della forza $b_F$ per risolvere il problema; le soluzioni a questo problema sono molteplici, numericamente calcoliamo solo la soluzione dove il modulo della forza $F$ è il più grande possibile ed è pertanto applicato nel punto più basso possibile. Quindi

$F= m\cdot g\cdot \mu=0,350\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,32\approx 1,1\: N$

da cui

$b_F\geq {{l\over 2}\cdot m\cdot g\over F}={{l\over 2}\cdot m\cdot g\over m\cdot g\cdot \mu}$

$b_F\geq {l\over 2\cdot \mu}={0,042\: m\over 2\cdot 0,32}\approx 0,066\: m$

Pertanto il punto di applicazione deve essere più alto di $6,6\: cm$ rispetto al punto di appoggio.

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Esercizio 67 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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La figura rappresenta una donna che pesa $5,00\cdot 10^2\: N$ ed è appoggiata obliquamente a una parete verticale liscia. Trova la forza $\vec{F}_N$ (perpendicolare alla parete) che la parete esercita sulle spalle della donna e le componenti orizzontale e verticale della forza che il pavimento esercita sulle scarpe della donna.

SVOLGIMENTO

La donna è in equilibrio, pertanto sappiamo con certezza che sia la risultante delle forze che la risultante dei momenti, calcolati rispetto al punto di contatto tra i piedi e il pavimento, è nulla. Quindi abbiamo

$F_p=F_{verticale}$

$F_N=F_{orizzontale}$

$b_p\cdot F_p\cdot \sin{30^\circ}=b_N\cdot F_N\cdot \sin{60^\circ}$

da cui, lavorando sull’equazione dei momenti

$F_N={b_p\cdot F_p\cdot \sin{30^\circ}\over b_N\cdot \sin{60^\circ}}={1,1\: m\cdot 5,00\cdot 10^2\: N\cdot \sin{30^\circ}\over 1,5\: m\cdot \sin{60^\circ}}\approx 211,7\: N$

Quindi con questo, e con la prima equazione, abbiamo calcolato la forza di attrito tra i piedi e pavimento, ossia

$F_{orizzontale}=211,7\: N$

$F_{verticale}= 5,00\cdot 10^2\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 66 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Due mattoni, identici tra loro di lunghezza $2L$ , vengono posti su un tavolo, in modo da sporgere, ognuno, della stessa distanza $x$ . La densità dei mattoni è uniforme. Determina il massimo valore di $x$ per cui i mattoni rimangono in equilibrio.

SVOLGIMENTO

I mattoni ruotano attorno al bordo del tavolo quando la proiezione del baricentro della coppia di mattoni sarà fuori dal tavolo, quindi l’esercizio consiste nel calcolare la posizione del baricentro e calcolare il momento in cui il baricentro si trova esattamente sopra allo spigolo del tavolo. Se osserviamo la figura possiamo vedere che la figura è “simmetrica” rispetto al centro del rettangolo formato dai due mattoni sovrapposti. Quindi, rispetto al punto più a sinistra del mattone inferiore, il baricentro si trova alla distanza

$x+{2\cdot L-x\over 2}$

Noi vogliamo che questa distanza sia uguale a quella che sporge dal bordo di destra che è $2\cdot x$ , cioè

$x+{2\cdot L-x\over 2}=2\cdot x$

da cui

${2\cdot x+2\cdot L-x\over 2}=2\cdot x$

$2\cdot x+2\cdot L-x=4\cdot x$

$x+2\cdot L=4\cdot x$

$2\cdot L=3\cdot x$

$x={2\over 3}\cdot L$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 64 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una corda di densità costante e lunga $84\: cm$ penzola parzialmente dal bordo di un tavolo. Il coefficiente di attrito statico fra la fune e il tavolo è $0,50$ . Calcola la massima lunghezza del tratto di corda che può penzolare senza che l’intera fune cada dal tavolo

SVOLGIMENTO

Innanzitutto sappiamo che la densità è costante, il che vuol dire che ogni centimetro di fune, che considero abbia sempre lo stesso volume, avrà esattamente la stessa massa (ciò equivale ad esprimere la densità in $kg/m$ assumendo che lo spessore della fune non vari). Una volta osservato questo avremo che la forza con cui la fune tende a cadere dal tavolo sarà la forza peso della parte che penzola, ossia

$F_p=L_{penzola}\cdot d\cdot g$

mentre la forza di attrito sarà

$F_a=F_\bot\cdot \mu=L_{rimanente}\cdot d\cdot g\cdot \mu$

da cui, osservando che $L_{rimanente}=L_{tot}-L_{penzola}$ , risulta

$F_a=(L_{tot}-L_{penzola})\cdot d\cdot g\cdot \mu$

A questo punto sappiamo che la corda rimarrà sul tavolo esclusivamente se la forza peso della corda pendente sarà minore o uguale alla forza di attrito, ossia

$F_p\leq F_a$

$L_{penzola}\cdot d\cdot g\leq (L_{tot}-L_{penzola})\cdot d\cdot g\cdot \mu$

da cui, semplificando sia la densità $d$ che $g$ , e risolvendo la disequazione, risulta

$L_{penzola}\leq{L_{tot}\cdot \mu\over 1+\mu}$

$L_{penzola}\leq{0,84\: m\cdot 0,50\over 1+0,50}=0,28\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 63 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una ruota di bicicletta è appoggiata a un gradino di altezza $h=12\: cm$ . La ruota pesa $25\: N$ e il suo raggio $r$ misura $34\: cm$ . Calcola il minimo modulo della forza $\vec{F}$ orizzontale che bisogna applicare alla ruota all’altezza del suo centro, in modo che la ruota salga sul gradino.

SVOLGIMENTO

A livello teorico abbiamo una rotazione rispetto al punto in cui il gradino tocca la ruota se il momento della forza $\vec{F}$ risulta maggiore del momento della forza peso (dove entrambi i momenti li calcoliamo rispetto al punto di rotazione della ruota, ossia il punto di contatto tra il gradino e la ruota). Pertanto il problema diventa un problema geometrico di determinazione dei due bracci delle forze. Il braccio della forza $\vec{F}$ risulta facilmente calcolabile facendo $r-h=22\: cm$ , mentre per il braccio della forza peso applicata nel centro della ruota costruiamo il triangolo rettangolo con il raggio che va fino al punto di contatto tra ruota e gradino e parte del raggio disegnato in rosso, allora viene che

$b_{peso}=\sqrt{r^2-(r-h)^2}\approx 25,9\: cm$

Una volta calcolato questo abbiamo la rotazione se

$M_F\geq M_p$

$b_F\cdot F\geq b_{peso}\cdot F_p$

$F\geq { b_{peso}\cdot F_p\over b_F}$

$F\geq { 0,259\: m\cdot 25\: N\over 0,22\: m}\approx 29\: N$

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Esercizio 62 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Il clown rappresentato nella figura pesa $890\: N$ . Quando il clown tira la corda con le mani, i suoi piedi vengono tirati all’indietro. Il coefficiente di attrito statico tra i piedi del clown e il pavimento è $0,53$ . Calcola il minimo modulo della forza con cui il clown deve tirare la corda per far slittare i suoi piedi sul pavimento.

SVOLGIMENTO

Dal punto di vista teorico dobbiamo osservare che quando il clown tira la corda, per il principio di azione e reazione, la corda solleva leggermente il clown e quindi ne riduce la forza premente e pertanto la forza di attrito, inoltre dobbiamo anche osservare che la forza che il clown esercita verso il basso viene traferita dal sistema di carrucole fino alla gamba dello stesso. Detto questo possiamo sicuramente osservare che

$F_a=F_\bot\cdot \mu$

$F_\bot=F_p-F_{tira}$

pertanto

$F_a=(F_p-F_{tira})\cdot \mu$

Concludiamo l’esercizio osservando che il clown muoverà la sua gamba esclusivamente se la forza con cui si tira è superiore della forza di attrito, ossia se

$F_{tira}\geq F_a\Rightarrow F_{tira}\geq (F_p-F_{tira})\cdot \mu$

ossia

$F_{tira}\geq {F_p\cdot \mu\over 1+\mu}$

$F_{tira}\geq {890\: N\cdot 0,53\over 1+0,53}\approx 308\: N$

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Esercizio 61 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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La figura mostra l’insegna di un pub. La massa dell’asta è $750\: g$ e quella dell’insegna è $2,4\: kg$ . In entrambi gli oggetti le masse sono distribuite uniformemente. Calcola la tensione del cavo che regge l’estremità dell’asta.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che siamo in una situazione di equilibrio, questo fisicamente si traduce nel fatto che la risultante delle forze e la risultante dei momenti, calcolati rispetto al punto di contatto tra asta e muro, sarà nulla. Pertanto, concentrandoci sui momenti, abbiamo che

$M_{asta}+M_{insegna}=M_{fune}$

dove quest’uguaglianza in modulo dipende dal diverso segno dei vettori momenti. Da cui

$F_{asta}\cdot b_{asta}+F_{insegna}\cdot b_{insegna}=T\cdot b_{fune}\cdot \sin{20^\circ}$

$0,750\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,52\: m+2,4\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,70\: m=T\cdot 1,04\: m\cdot \sin{20^\circ}$

Osserviamo esplicitamente che per calcolare i bracci si utilizza l’informazione dell’omogeneità sia dell’asta che dell’insegna, quindi consideriamo la forza peso applicata nel loro baricentro.

$T={0,750\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,52\: m+2,4\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,70\: m\over 1,04\: m\cdot \sin{20^\circ}}\approx 57\: N$

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Esercizio 60 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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La figura mostra due carriole che pesano $60\: N$ ciascuna e che portano la stessa quantità di terra del peso di $525\: N$ . Le strutture delle due carriole sono in posizioni diverse. Le frecce nella figura indicano i pesi dei carichi e delle carriole. Calcola i moduli delle forze che gli operai devono esercitare sulle carriole per sollevarle.

SVOLGIMENTO

Queste due carriole sono entrambe delle leve vantaggiose dove il braccio della potenza è sempre più lungo del braccio della resistenza. Analizziamo prima la prima carriola e ovviamente calcoliamo il momento complessivo sapendo che per avere l’equilibrio tale momento dovrà essere nullo, per ultima cosa osserviamo che il peso della terra e il peso della carriola determinano una rotazione inversa rispetto alla forza dell’operaio, pertanto avranno segno opposto.

$525\: N\cdot 0,40\: m+60\: N\cdot 0,60\:m=F_1\cdot 1,3\: m$

$F_2={525\: N\cdot 0,40\: m+60\: N\cdot 0,60\:m\over 1,3\: m}\approx 189\: N$

Facciamo lo stesso discorso per la carriola 2 e vediamo che

$525\: N\cdot 0\: m+60\: N\cdot 0,60\:m=F_2\cdot 1,3\: m$

$F_2={60\: N\cdot 0,60\:m\over 1,3\: m}\approx 28\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 59 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un blocco che pesa $88,9\: N$ viene spinto contro una parete applicando una forza obliqua. Il coefficiente di attrito statico fra il blocco e la parete è $0,56$ . Calcola il modulo della minima forza $F$ necessaria per mantenere fermo il blocco.

SVOLGIMENTO

La componente orizzontale della forza $\vec{F}$ è la forza premente che determina la forza attrito tra muro e blocco, quindi

$\sin{40^\circ}\cdot F\cdot \mu=F_a$

questa forza di attrito ostacolerà il moto del blocco sulla parete verticale. Per capire che tipo di movimento viene ostacolato dalla forza di attrito osserviamo che, senza tale forza, sul blocco sicuramente viene esercitata la componente $y$ della forza $\vec{F}$ e la forza peso del blocco (forze che sono dirette in verso opposto), cioè

$88,9\: N-F^y=88,9\: N-\cos{40^\circ}\cdot F$

pertanto se la forza di attrito fosse maggiore di tale forza allora il blocco non potrà muoversi, pertanto la mia condizione diventa

$F_a\geq 88,9\: N-\cos{40^\circ}\cdot F$

$\sin{40^\circ}\cdot F\cdot \mu\geq 88,9\: N-\cos{40^\circ}\cdot F$

da cui

$F\geq {88,9\: N\over \sin{40^\circ} \cdot \mu+\cos{40^\circ}}\approx 79\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 58 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una persona è ferma appoggiata a due stampelle. In queste condizioni il terreno esercita una forza nella direzione di ciascuna. Il coefficiente di attrito statico fra terreno e stampella è $0,90$ . Calcola l’angolo massimo $\theta_{max}$ che la stampella può formare con il terreno senza scivolare.

SVOLGIMENTO

Cerchiamo di analizzare la situazione e scrivere tutte le forze in gioco. Consideriamo che le due forze di reazione vincolare sulla base della stampella sorreggono completamente il ragazzo (che pertanto supponiamo non sia appoggiato a terra con il piede) quindi

$\vec{F}_p=\vec{F}_1+\vec{F}_2$

inoltre osserviamo che i moduli delle due forze sulle stampelle devono necessariamente essere uguali perchè altrimenti la componente orizzontale non si annullerebbe, chiamiamo tale forza $\vec{F}$ di modulo $F$ . Detto questo la relazione precedente scritta nelle due componenti $x$ e $y$ diventerà

$\sin{\theta}\cdot F_1=\sin{\theta}\cdot F_2$

$F_p=\cos{\theta}\cdot F_1+\cos{\theta}\cdot F_2$

da cui

$F_p=2\cdot \cos{\theta}\cdot F$

Concentriamoci adesso sulla forza di attrito, sappiamo che la componente $x$ della forza su ogni stampella sarà sostanzialmente la forza di attrito tra la stampella e il pavimento, quindi

$\sin{\theta}\cdot F\leq F_a$