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Esercizio 4 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

Due operai spingono una grossa cassa. Uno applica una forza di modulo $F_1=144\: N$ , l’altro applica un forza in direzione perpendicolare a $F_1$ di modulo $F_2=162\: N$ . Trascura l’attrito con il pavimento. Calcola il modulo della forza totale applicata alla cassa.

SVOLGIMENTO

Siccome la direzione delle due forze è perpendicolare per trovare il modulo della somma delle forze ci basta applicare il teorema di Pitagora, infatti il vettore somma è la diagonale del rettangolo che ha come lati i due vettori, da cui

$F_1+F_2=\sqrt{F_1^2+F_2^2}\approx 217\: N$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 3 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Calcola l’ampiezza dell’angolo tra i vettori $\vec{A}=-3\hat{x}+2\hat{y}$ e $\vec{B}=-2\hat{x}-\hat{y}$ .

SVOLGIMENTO

Per trovare l’angolo formato da due vettori è comodo utilizzare il doppio modo di esprimere il prodotto scalare tra vettori, infatti da una parte

$\vec{A}\cdot \vec{B}=A\cdot B\cdot \cos(\widehat{AB})$

ma d’altra parte se i due vettori sono espressi per componenti con $\vec{A}=(a_1 \: ; \: a_2)$ e $\vec{B}=(b_1 \: ; \: b_2)$ allora

$\vec{A}\cdot \vec{B}=a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_2$

da cui

$\widehat{AB}=\arccos{{a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_2 \over A\cdot B}}$

$\widehat{AB}=\arccos{{-3\cdot (-2) + 2\cdot (-1) \over \sqrt{(-3)^2+2^2}\cdot \sqrt{(-2)^2+(-1)^2}}}=\arccos{{4 \over \sqrt{13}\cdot \sqrt{5}}}\approx 60,3^\circ$

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 2 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un fruttivendolo vende le banane a $1,50$ euro al chilogrammo. Attacca un sacchetto di banane a un dinamometro e legge $20,0\: N$ . Quale è il costo del sacchetto di banane?

SVOLGIMENTO

Per determinare il costo del sacchetto di banane bisogna necessariamente determinare la massa in $kg$ del sacchetto. Per fare questo ricordiamo che il dinamometro è uno strumento capace di misurare la forza peso di un oggetto, e tale forza è definita come

$F_p=m\cdot g$

per cui

$m={F_p\over g}={20\: N\over 9,81\: m/s^2}\approx 2,04\: kg$

da cui

$costo=1,50\: euro/kg\cdot 2,04\: kg=3,06\: euro$

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Esercizio 1 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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I vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ in figura hanno modulo $A=1,6$ e $B=2,4$ .

Determina il modulo del vettore somma $\vec{A}+\vec{B}$ e l’angolo che forma con l’asse $x$ .

SVOLGIMENTO

Per risolvere questo esercizio scegliamo di scrivere i vettori presenti nell’esercizio in coordinate cartesiane, ricordando che

$\vec{V}=V\cdot (\cos{\widehat{Vx}}\:;\: \sin{\widehat{Vx}})$

pertanto

$\vec{A}=1,6\cdot (\cos{60^\circ}\:;\: \sin{60^\circ})$

$\vec{B}=2,4\cdot (\cos{130^\circ}\:;\: \sin{130^\circ})$

da cui

$\vec{A}+\vec{B}=1,6\cdot (\cos{60^\circ}\:;\: \sin{60^\circ})+2,4\cdot (\cos{130^\circ}\:;\: \sin{130^\circ})$

$\vec{A}+\vec{B}\approx(0,8\:;\: 1,39)+(-1,54\:;\: 1,84)$

$\vec{A}+\vec{B}=(0,8-1,54\:;\: 1,39+1,84)$

$\vec{A}+\vec{B}=(-0,74\:;\:3,23)$

Per cui il modulo lo possiamo calcolare con il teorema di Pitagora e otteniamo

$\left| \vec{A}+\vec{B}\right|=\sqrt{(-0,74)^2+3,23^2}\approx 3,3$

Mentre per calcolare l’angolo possiamo utilizzare $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ oppure $\tan^{-1}$ . Scegliamo di fare questo con il primo e il terzo modo, quindi

$(\vec{A}+\vec{B})_x=\left| \vec{A}+\vec{B}\right|\cdot \cos{\widehat{Ax}}\Rightarrow \cos{\widehat{Ax}}={(\vec{A}+\vec{B})_x\over \left| \vec{A}+\vec{B}\right|}$

da cui

$\widehat{Ax}=\cos^{-1}{(\vec{A}+\vec{B})_x\over \left| \vec{A}+\vec{B}\right|}=\cos^{-1}{-0,74\over 3,3}\approx 103^\circ$

mentre usando l’arcotangente (o $\tan^{-1}$ ) verrebbe

$\widehat{Ax}=\arctan{{(\vec{A}+\vec{B})_y\over (\vec{A}+\vec{B})_x}}=\arctan{{3,23\over -0,74}}\approx 103^\circ$

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