Esercizio 63 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

I due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ hanno modulo rispettivamente di $5,0$ e $8,0$ . Il vettore $\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$ ha modulo pari a $20$ .
Calcola l’ampiezza dell’angolo formato dalle direzioni dei due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ .
Il vettore $\vec{d}=\vec{b}\times\vec{a}$ ha lo stesso modulo di $\vec{c}$ ?

SVOLGIMENTO

Alla seconda domanda possiamo rispondere subito ricordandoci che il prodotto vettoriale è un vettore di modulo pari a

$c=a\cdot b \cdot \sin{\widehat{ab}}$

mentre

$d=b\cdot a \cdot \sin{\widehat{ba}}$

siccome la moltiplicazione tra numeri gode della proprietà commutativa e che l’angolo formato dal vettore $\vec{a}$ e il vettore $\vec{b}$ non può essere variato sicuramente i due moduli saranno uguali. L’unica osservazione che facciamo su questa nostra affermazione è che i moduli per definizione sono positivi, generalmente però si aggiunge un segno al modulo per dare indicazione del verso. Allora in questo senso qua i due moduli hanno sicuramente segno opposto, cioè i due vettori $\vec{c}$ e $\vec{d}$ hanno stessa direzione ma verso opposto.
Per quanto riguarda la prima domanda bisogna semplicemente invertire la prima formula che abbiamo fornito, infatti

$c=a\cdot b \cdot \sin{\widehat{ab}}\Rightarrow \sin{\widehat{ab}}={c\over a\cdot b }$

da cui

$\widehat{ab}=\sin^{-1}{c\over a\cdot b }=\sin^{-1}{20\over 5,0\cdot 8,0 }=30^\circ$

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