Sappiamo che l’unica terna pitagorica (cioè terna di numeri che soddisfi il teorema di Pitagora) che ha il come  numero maggiore è la terna , pertanto i segmenti o sono orizzontali e verticali oppure sono l’ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti e . Una volta osservato questo partiamo contando i segmenti orizzontali e verticali. Ogni punto della prima colonna può unirsi con il corrispettivo punto della sesta colonna per un totale di segmenti, lo stesso ragionamento lo possiamo fare per i punti della seconda colonna con quelli della settima. Terminiamo il conto facendo lo stesso identico ragionamento sui punti della prima e seconda riga (ovviamente i primi punti vengono contati due volte, ma perché effettivamente da quei punti possiamo far partire due segmenti). In definitiva i segmenti orizzontali e verticali sono . Contiamo infine i segmenti diagonali. Dal primo punto in alto a sinistra partono due segmenti diagonali di lunghezza allo stesso modo da tutti i punti della prima riga partono due segmenti. Lo stesso identico discorso lo possiamo fare per la seconda e la terza riga. Da tutti i punti della quarta riga eccetto quello centrale invece parte un unico segmento. In definitiva quindi i segmenti sono .

Risolviamo l’esercizio a tentativi cercando di capire che numero può stare al posto della parola CAFE, ovviamente partiamo dal più piccolo numero possibile e cerchiamo di vedere se è possibile creare un’addizione con quelle caratteristiche. Il numero più piccolo formato da quattro cifre diverse è il numero . Però notiamo immediatamente che sommando un numero di due cifre a tale numero la cifra delle migliaia non potrà mai essere diversa da e quindi non va bene. Inoltre questo ragionamento preliminare ci fa capire che sicuramente le prime due cifre del numero cercato non possono essere più piccole di . Una volta capito questo procediamo ancora a tentativi e proviamo a prendere il numero (cioè il più piccolo numero che inizia con le cifre e ) ma ancora una volta mi accorgo facilmente che questo numero non va bene perché per arrivare sopra i mi servirebbe aggiungere un numero troppo grande. Facendo un paio di tentativi aggiuntivi si vede facilmente che il numero cercato è il e l’addizione giusta è

Il formato del numero-compleanno è qualcosa del tipo dove e non devono essere . Ragionando sulle singole cifre possiamo sicuramente vedere che giorni diversi dello stesso mese hanno necessariamente un numero-compleanno diverso, mentre due giorni di mesi diversi possono avere lo stesso numero-compleanno solamente se sono uno di gennaio e uno di novembre oppure uno di febbraio e uno di dicembre (questo perché altrimenti la cifra delle unità sarebbe diversa). Nella coppia gennaio-novembre possiamo avere il numero che corrisponde sia all’ gennaio che all’ novembre poi il numero e il numero mentre nella coppia febbraio-dicembre possiamo avere e . Questo perché a febbraio non c’è il e quindi il numero-compleanno si riferisce esclusivamente al dicembre. In definitiva il più grande numero compleanno che può essere associato a due date è il .

Ovviamente al ballo le persone potevano essere o maschi oppure femmine, pertanto il ragionamento che seguiamo è il seguente: quando tocca a Debora noi sappiamo che ci sono sicuramente tre ragazze (Anna, Chiara e Debora) pertanto in questo caso avremo almeno invitati, ogni volta che aggiungiamo una ragazza alla lista si aggiunge anche un ragazzo (siccome la ragazza successiva ha ballato con un ragazzo in più). Quindi la successione degli invitati procede nel seguente modo , , fino ad arrivare a , mentre la successione dei ragazzi procede nel seguente modo , , . Pertanto, siccome per andare dal al ci sono numeri dispari allora i maschi saranno .

Facciamo una tabella per vedere facilmente come vengono utilizzate le cifre

Quindi l’ultima macchinina che riesce a numerare è la numero .

I chilometri totali che Phileas deve percorrere sono . Il più grande numero che si scrive con cinque cifre consecutive ed è sotto al deve sicuramente contenere la cifra pertanto è il numero , per cui rimangono da percorrere .

Il ragionamento da adottare è quello del sudoku. Il ragionamento consiste nel posizionare i numeri e cercare di andare avanti fino a che non si trova o la soluzione oppure un errore. Facciamo un esempio. La riga centrale potrebbe essere completata nel seguente modo

ma in questa configurazione qui nella quarta colonna e prima riga non potrebbe andarci né il né il quindi sicuramente la configurazione proposta per la terza riga è sbagliata. Un’altra possibile configurazione per la terza riga è

Andiamo avanti con questa configurazione cercando di capire se porta ad un errore oppure no. Ma anche questa configurazione porta ad un errore, infatti ancora una volta la quarta riga e prima colonna non può essere né né . Ne segue che la soluzione corretta per la terza riga è:

e ragionando nello stesso modo si arriva alla conclusione che è

I pezzi che hanno necessariamente il bordo rettilineo sono quelli che si trovano sul bordo. Attenzione al non fare l’errore di considerare il perimetro del quadrato, ossia , infatti quando calcoliamo il numero di pezzi dobbiamo stare attenti perché rischiamo di contare alcuni pezzi due volte. Dall’immagine è facile capire che i pezzi sono .

Osserviamo che i quadrati non devono essere tutti diversi, ma non devono essere tutti uguali. I modi per suddividere in nove quadrati il quadrato di partenza sono diversi, ad esempio

Siccome un quadrato grande di dimensione non possiamo inserirlo (altrimenti rimarrebbero fuori quadratini di lato ) la risposta è .

Il resto che ottiene Jacopo è di mentre il resto che avrebbe dovuto ottenere è di , pertanto Jacopo con questo errore guadagna .