Archivi categoria: Velocità e moto rettilineo uniforme

Lungo la rettilinea via Mazzini, un panificio e una gelateria distano $1,2\: km$ . Aurora esce dal panificio e a piedi si muove verso la gelateria a velocità costante di $1,6\: m/s$ . Contemporaneamente Lucia sta muovendosi in bicicletta dalla gelateria verso il panificio a velocità $3,2\: m/s$ . Dopo aver fissato un sistema di riferimento, scrivi le leggi orarie di Aurora e Lucia. Determina il punto in cui Aurora e Lucia si incontrano.

SVOLGIMENTO

La legge oraria di un moto è una formula che permette di determinare la posizione in funzione del tempo. La legge oraria del moto rettilineo uniforme è:

$s(t)=s(0)+v\cdot t$

dove:
– $s(t)$ , indicato anche $x(t)$ , rappresenta la posizione all’istante $t$ ;
– $s(0)$ , indicato anche $x(0),\: s_0,\: x_0$ , rappresenta la posizione all’istante $t=0$ ;
– $v$ rappresenta la velocità.
Prima di determinare le leggi orarie dobbiamo fissare il sistema di riferimento, poniamo il punto $s=0\:m$ nel panificio di Aurora e il tempo $t=0\:s$ il tempo in cui Aurora e Lucia partono, infine fissiamo l’orientamento del sistema come quello che dal panificio va alla gelateria. In questo sistema di riferimento abbiamo

$s_A(t)=s_A(0)+v_A\cdot t=1,6\: m/s\cdot t$

$s_L(t)=s_L(0)+v_L\cdot t=1200\: m-3,2\: m/s\cdot t$

dove la velocità di Lucia ha il segno negativo perchè ha verso opposto al verso del sistema di riferimento. Per determinare il punto di incontro prima determiniamo l’istante in cui si incontrano e dopo determiniamo la posizione. La posizione in cui si incontrano verificherà la condizione

$s_A(t)=s_L(t)$

ossia

$1,6\: m/s\cdot t=1200\: m-3,2\: m/s\cdot t$

$1,6\: m/s\cdot t+3,2\: m/s\cdot t=1200\: m$

$(1,6\: m/s+3,2\: m/s)\cdot t=1200\: m$

$4,8\: m/s\cdot t=1200\: m$

$t=250\: s$

Una volta determinato l’istante in cui si incontrano usando una qualunque delle due leggi orarie possiamo determinare il punto di incontro. Utilizziamo la legge oraria di Aurora e determiniamo la posizione

$s_A(250\:s)=1,6\: m/s\cdot 250\:s=400\: m$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 123 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Giuseppe percorre in moto un rettilineo di lunghezza $l$ . Nei primi due terzi del percorso la sua velocità è uguale a $v$ . La velocità media su tutto il percorso è $v/3$ . Calcola la velocità nella seconda parte del percorso.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la velocità media su un tratto rettilineo è

$v={l\over t}$

ossia lo spazio percorso (in questo esercizio $l$ ) fratto il tempo necessario a percorrerlo. In questo esercizio possiamo analizzare le tre situazioni, ossia il primo tratto del percorso, il secondo tratto del percorso (in questi due tratti il moto è un moto rettilineo uniforme) e il tratto completo di lunghezza $l$ . Quindi sappiamo

${v\over 3}={l\over t_{tot}}$

$v={{2\over 3}l\over t_1}$

$v_2={{1\over 3}l\over t_2}$

se riusciamo a calcolare $t_2$ allora possiamo utilizzare la terza formula per determinare $v_2$ . Quindi

$t_2=t_{tot}-t_1={3l\over v}-{2l\over 3v}={9l-2l\over 3v}={7l\over 3v}$

per cui

$v_2={{1\over 3}l\over {7l\over 3v}}={l\over 3}\cdot {3v\over 7l}={1\over 7}v$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 122 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Alla guardia di un grande centro commerciale viene data la segnalazione di un ladro presso il reparto di profumeria collocato nel corridoio principale del centro. Il corridoio è lungo $50\: m$ e alla fine c’è una porta d’uscita. La porta può essere bloccata con un comando elettrico che si trova a $15\: m$ dall’inizio del corridoio. Quando la guardia entra nel corridoio il ladro si trova a $25\: m$ da lui e cerca di scappare correndo verso la porta a velocità costante di $4,0\: m/s$ . Contemporaneamente la guardia corre verso il comando elettrico alla velocità costante di $2,5\: m/s$ . Calcola dove si trova il ladro quando la guardia raggiunge il comando elettrico. Il ladro riesce a scappare?

SVOLGIMENTO

Sia la guardia che il ladro si muovono di moto rettilineo uniforme, pertanto la definizione di velocità sarà

$v={\Delta x\over \Delta t}$

ossia lo spazio percorso fratto il tempo necessario a percorrerlo. Nella configurazione iniziale la guardia si trova all’inizio del corridoio e viaggia a $2,5\: m/s$ , per raggiungere il pulsante che si trova a $15\: m$ da lui ci mette

$\Delta t={\Delta x\over v_G}={15\: m\over 2,5\: m/s}=6\:s$

Il ladro nella configurazione iniziale si trova a $25\: m$ dalla porta di uscita e viaggia a $4\: m/s$ , pertanto il ladro nei $6\:s$ che ha a disposizione riesce a percorrere

$\Delta x=v_L\cdot \Delta t=4\: m/s\cdot 6\:s=24\:m$

Quindi il ladro arriva al $49\: m$ del corridoio a $1\: m$ dalla porta di uscita.

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 121 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Nicoletta percorre in bicicletta i tre quinti di un percorso a velocità $v$ e i restanti due quinti a velocità $0,8v$ . Quale è la velocità media valutata su tutto il suo percorso?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che nel moto rettilineo uniforme la definizione di velocità media è

$v_m={\Delta x\over \Delta t}$

ossia la distanza percorsa fratto il tempo necessario a percorrerlo. Poniamo $x$ la distanza dell’intero percorso e $t$ il tempo totale. Per poter utilizzare la definizione dobbiamo determinare il tempo $t$ . Allora nei due tratti, che sono tratti a velocità costante, abbiamo

$v={{3\over 5}\cdot x\over t_1}\Rightarrow t_1={{3\over 5}\cdot x\over v}={3\cdot x\over 5\cdot v}$

$0,8v={{2\over 5}\cdot x\over t_2}\Rightarrow t_2={{2\over 5}\cdot x\over 0,8v}={2\cdot x\over 5\cdot 0,8v}={2\cdot x\over 4\cdot v}$

quindi possiamo calcolare il tempo totale

$t_1+t_2={3\cdot x\over 5\cdot v}+{2\cdot x\over 4\cdot v}={4\cdot 3\cdot x\over 20\cdot v}+{5\cdot 2\cdot x\over 20\cdot v}={12\cdot x+10\cdot x\over 20\cdot v}={11x\over 10v}$

Una volta ricavato il tempo è possibile calcolare la velocità media con la definizione data prima

$v_m={x\over t}={x\over {11x\over 10v}}=x\cdot {10v\over 11x}={10\over 11}v$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 120 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Il grafico della figura rappresenta il movimento di Valentina che sta cercando un quadrifoglio lungo una siepe nel giardino di casa

Calcola lo spostamento tra l’instante di tempo $t_1=7\: s$ e $t_2=9\:s$ e spiega il significato fisico del risultato ottenuto.
Determina i due istanti di tempo nei quali Valentina è passata dalla posizione $s=5\: m$ e la durata del corrispondente intervallo di tempo.
Calcola la velocità media di Valentina tra l’istante $t_3=3\: s$ e $t_4=7\:s$ .

SVOLGIMENTO

Calcoliamo lo spostamento tra i due tempo $t_1$ e $t_2$ , per fare questo calcoliamo

$s(t_2)-s(t_1)=1,8\: m-5\:m=-3,2\: m$

la particolarità di questo risultato è il segno negativo. Le distanze dal punto di vista teorico sono sempre positive, il fatto che questo risultato sia negativo significa che Valentina è tornata indietro, ossia che la posizione iniziale si trova a una distanza maggiore rispetto alla posizione finale, ossia che il vettore spostamento ha verso contrario rispetto al verso verso il quale crescono i numeri.
Per calcolare i due istanti in cui Valentina passa per $s=5\: m$ ci basta osservare quando la retta parallela all’asse $x$ e passante per $s=5\: m$ interseca il grafico blu. Questo accade in due tempo ossia

$t=4\:s\:e\:t=7\:s$

Infine per calcolare la velocità media utilizziamo la definizione

$v_m={\Delta x\over \Delta t}={5\: m-4,2\: m\over 7\:s-3\: s}= 0,2\: m/s$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 119 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Un’auto parte da un casello autostradale mantenendo una velocità $v_A$ costante; contemporaneamente una seconda auto parte da un casello situato a una distanza $d$ più avanti del primo, e procede a velocità costante $v_B$ , con $v_B<v_A$ . Il casello successivo si trova a distanza $5d$ dal primo. Trova il punto in cui l’auto $A$ raggiunge l’auto $B$ . Quale velocità deve mantenere l’auto $A$ per raggiungere l’auto $B$ prima del casello successivo?

SVOLGIMENTO

Immaginiamo che l’autostrada sia in linea retta, quindi ci mettiamo nella situazione ideale di essere in un moto rettilineo uniforme. Per risolvere l’esercizio scriviamo le due leggi orarie. Ricordiamo che la legge oraria di un moto è una formula che permette di determinare la posizione in funzione del tempo. La legge oraria del moto rettilineo uniforme è:

$s(t)=s(0)+v\cdot t$

dove:
– $s(t)$ , indicato anche $x(t)$ , rappresenta la posizione all’istante $t$ ;
– $s(0)$ , indicato anche $x(0),\: s_0,\: x_0$ , rappresenta la posizione all’istante $t=0$ ;
– $v$ rappresenta la velocità.
Poniamo il sistema di riferimento con $s=0\: m$ nel casello in cui parte l’auto $A$ , ossia quello più indietro, e il tempo $t=0\:s$ l’istante in cui partono entrambe le macchine. In questo sistema di riferimento le due leggi orarie sono

$s_A(t)=v_A\cdot t$

$s_B(t)=d+v_B\cdot t$

Determiniamo prima l’istante in cui $A$ raggiunge $B$ e dopo calcoliamo in punto esatto. L’istante in cui $A$ raggiunge $B$ è caratterizzato dalla condizione fisica

$s_A(t)=s_B(t)$

quindi

$v_A\cdot t=d+v_B\cdot t$

$v_A\cdot t-v_B\cdot t=d$

$(v_A-v_B)\cdot t=d$

$t={d\over v_A-v_B}$

Una volta determinato l’istante in cui si incontrano, utilizzando una delle due leggi orarie (usiamo la prima perchè è più semplice) possiamo determinare a che punto si incontreranno

$s_A({d\over v_A-v_B})=v_A\cdot {d\over v_A-v_B}={v_A\over v_A-v_B}\cdot d$

Una volta determinato il punto di incontro possiamo scrivere la condizione che questo punto sia prima del terzo casello, ossia

${v_A\over v_A-v_B}\cdot d<5d$

infatti la distanza tra il primo casello e il terzo casello è $5d$

${v_A\over v_A-v_B}\cdot d<5d$

${v_A\over v_A-v_B}<5$

$v_A<5\cdot (v_A-v_B)$

$v_A<5v_A-5v_B$

$v_A-5v_A<-5v_B$

$-4v_A<-5v_B$

$v_A>{5\over 4}\cdot v_B$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 118 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Il bradipo tridattilo è il più lento mammifero terrestre. Sul terreno, il bradipo si muove alla velocità di $0,037\: m/s$ . Per confronto, una tartaruga gigante si muove a una velocità media di $0,076\: m/s$ . Calcola la differenza tra le distanze percorse in $12\: minuti$ da un bradipo e da una tartaruga.

SVOLGIMENTO

Immaginiamo che il tragitto fatto sia della tartaruga che dal bradipo siano rettilinei. Nel contesto di moto rettilineo uniforme il concetto di velocità perde la sua connotazione vettoriale e diventa

$v_m={\Delta x\over \Delta t}$

ossia lo spazio percorso fratto il tempo necessario a percorrerlo. Se immaginiamo che la velocità sia del bradipo che della tartaruga sia costante, allora

$\Delta x_{tar}-\Delta x_{bra}=v_{tar}\cdot \Delta t-v_{bra}\cdot \Delta t=(v_{tar}-v_{bra})\cdot \Delta t$

per cui

$\Delta x_{tar}-\Delta x_{bra}=(0,076\: m/s-0,037\: m/s)\cdot 720\: s\approx 28\: m$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 117 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Anna sta tornando dalle vacanze percorrendo l’autostrada del Sole. Viaggia per un tratto ( $s_A$ ) alla velocità di $110\: km/h$ . Poi, a seguito di un aumento del traffico, Anna è costretta a ridurre la velocità percorrendo la seconda parte del viaggio ( $s_B$ ) a $60\: km/h$ . La distanza e la durata complessivi del viaggio sono $350\: km$ e $4,0\: h$ rispettivamente.
Calcola gli intervalli di tempo necessari per percorre $s_A$ e $s_B$ .
Calcola le distanze percorse nei due tratti $s_A$ e $s_B$ .

SVOLGIMENTO

Immaginiamo che la traiettoria percorsa da Anna sia una traiettoria rettilinea, allora sappiamo che nei tratti di moto rettilineo uniforme il concetto di velocità perde la sua connotazione vettoriale e diventa

$v_m={\Delta x\over \Delta t}$

ossia lo spazio percorso fratto il tempo necessario a percorrerlo. Una volta ricordato questo spezziamo il tragitto nei due tratti di moto rettilineo uniforme e scriviamo la formula della velocità per ognuno dei due tratti.

$v_A={s_A\over t_A}$

$v_B={s_B\over t_B}$

inoltre ricordiamo che

$s_A+s_B=350\: km$

$t_A+t_B=4\: h$

Se osserviamo quello che abbiamo scritto notiamo che abbiamo scritto quattro equazioni in quattro incognite, infatti le velocità nei due tratti le conosciamo, pertanto a livello matematico è possibile determinare le quattro soluzioni e risolvere l’esercizio. Risolviamo il sistema per sostituzione

$s_A+s_B=350\: km\Rightarrow s_A=350\: km-s_B$

$t_A+t_B=4\: h\Rightarrow t_A=4\:h-t_B$

$v_B={s_B\over t_B}\Rightarrow s_B=v_B\cdot t_B$

sostituendo questo nella prima

$v_A={350\: km-s_B\over 4\:h-t_B}={350\: km-v_B\cdot t_B\over 4\:h-t_B}$

e questa contiene come unica incognita $t_B$

$v_A={350\: km-v_B\cdot t_B\over 4\:h-t_B}$

$v_A\cdot (4\:h-t_B)=350\: km-v_B\cdot t_B$

$v_A\cdot 4\:h-v_A\cdot t_B=350\: km-v_B\cdot t_B$

$v_B\cdot t_B-v_A\cdot t_B=350\: km-v_A\cdot 4\:h$

$(v_B-v_A)\cdot t_B=350\: km-v_A\cdot 4\:h$

$t_B={350\: km-v_A\cdot 4\:h\over v_B-v_A}={350\: km-110\: km/h\cdot 4\:h\over 60\: km/h-110\: km/h}=1,8\: h$

da cui

$t_A+t_B=4\: h\Rightarrow t_A=4\:h-1,8\:h=2,2\: h$

infine

$s_A=v_A\cdot t_A=110\: km/h\cdot 2,2\: h=242\: km$

$v_B=v_B\cdot t_B=60\: km/h\cdot 1,8\: h=108\: km$

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 116 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Un ciclista percorre un rettilineo diviso in tre parti. Nella prima parte, pedala per $22\: minuti$ alla velocità media di $7,2\: m/s$ . Nella seconda parte, pedala per $36\: minuti$ alla velocità media di $5,1\: m/s$ . Nella terza parte pedala per $8\: minuti$ alla velocità media di $13\: m/s$ . Che distanza ha percorso il ciclista in totale? Quale è stata la sua velocità media?

SVOLGIMENTO

Prima di tutto ricordiamo che nei tratti di moto rettilineo uniforme il concetto di velocità perde la sua connotazione vettoriale e diventa

$v_m={\Delta x\over \Delta t}$

ossia lo spazio percorso fratto il tempo necessario a percorrerlo. Una volta ricordato questo spezziamo il tragitto del ciclista nei tre tratti di moto rettilineo uniforme, pertanto

$\Delta x_ {tot}=\Delta x_1+\Delta x_2+\Delta x_3=v_1\cdot \Delta t_1+v_2\cdot \Delta t_2+v_3\cdot \Delta t_3$

a questo punto convertiamo i tempi in secondi e calcoliamo

$\Delta x_ {tot}=7,2\: m/s\cdot 1320\: s+5,1\: m/s\cdot 2160\: s+13\: m/s\cdot 480\: s=26760\: m$

Per calcolare la velocità media sull’intero tragitto utilizziamo la definizione

$v_m={\Delta x_{tot}\over \Delta t_{tot}}={26760\: m\over 1320\:s+2160\:s+480\:s}\approx 6,8\: m/s$

Osserviamo esplicitamente che a livello sia fisico che matematico la velocità media non si può calcolare facendo le medie delle velocità, questo dipende dal fatto che i tempo sono diversi e $36\: minuti$ alla velocità di $5,1\: m/s$ non possono contare come $8\: minuti$ alla velocità di $13\: m/s$ .

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Esercizi di fisica, Velocità e moto rettilineo uniforme

Esercizio 115 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Matteo e Antonio abitano ai capi opposti di via Cavour, una delle vie principali della loro città lunga $800\: m$ . Decidono di incontrarsi. Matteo procede con una velocità di $2,0\: m/s$ e Antonio con velocità $2,2\: m/s$ nel verso opposto. Antonio, trattenuto da una telefonata, parte con $10\: s$ di ritardo.
Scrivi le due leggi orarie del moto di Matteo e Antonio.
Calcola l’istante in cui s’incontrano e quale distanza hanno percorso.

SVOLGIMENTO

La legge oraria di un moto è una formula che permette di determinare la posizione in funzione del tempo. La legge oraria del moto rettilineo uniforme è:

$s(t)=s(0)+v\cdot t$

dove:
– $s(t)$ , indicato anche $x(t)$ , rappresenta la posizione all’istante $t$ ;
– $s(0)$ , indicato anche $x(0),\: s_0,\: x_0$ , rappresenta la posizione all’istante $t=0$ ;
– $v$ rappresenta la velocità.
Per scrivere le due leggi orarie scegliamo di utilizzare lo stesso sistema di riferimento in modo tale da poter confrontare le due leggi orarie per rispondere alla seconda domanda. Fissiamo pertanto il sistema di riferimento. Poniamo casa di Antonio il punto $s=0\:m$ , il tempo in cui Antonio parte $t=0\:s$ e la direzione del sistema di riferimento quella che da casa di Antonio va verso la casa di Matteo. In questo sistema di riferimento abbiamo che $s_M(0)=800\: m-2,0\: m/s\cdot 10\:s$ , questo perchè Matteo parte $10\: s$ prima di Antonio, e che la velocità di Matteo sarà negativa mentre quella di Antonio positiva. Una volta fissato il sistema di riferimento possiamo scrivere le due leggi orarie

$s_M(t)=s_M(0)+v_M\cdot t=780\: m-2,0\: m/s\cdot t$

$s_A(t)=s_A(0)+v_A\cdot t=0\: m+2,2\: m/s\cdot t=2,2\: m/s\cdot t$

Utilizziamo ora le leggi orarie per rispondere alla seconda domanda. Il punto di incontro tra Matteo e Antonio verifica la condizione

$s_M(t)=s_A(t)$

ossia

$780\: m-2,0\: m/s\cdot t=2,2\: m/s\cdot t$

$780\: m=2,2\: m/s\cdot t+2,0\: m/s\cdot t$

$780\: m=4,2\: m/s\cdot t$

$t\approx 186\: s=2\: min\: 6\: s$

quindi Matteo e Antonio si incontrano $186\:s$ dopo la partenza di Antonio e $196\:s$ dopo la partenza di Matteo. Per determinare lo spazio percorso da Matteo e Antonio possiamo sia utilizzare la legge oraria che la definizione di velocità, optiamo per questa seconda strada, allora

$\Delta x_M=v_M\cdot t_M=2,0\: m/s\cdot 196\:s=392\: m$

$\Delta x_A=v_A\cdot t_A=2,2\: m/s\cdot 186\:s\approx 409\: m$

osserviamo che la somma $\Delta x_M+\Delta x_A$ non da esattamente $800\: m$ come dovrebbe essere, questo è dovuta all’approssimazione di $t$ , infatti una approssimazione migliore del tempo sarebbe

$t_A=185,7142857\: s$

$t_M=195,7142857\: s$

utilizzando questo tempo avremmo

$\Delta x_M\approx 391,4285714 \: m$

$\Delta x_A\approx 408,5714286\: m$

e in questo casa risulta $\Delta x_M+\Delta x_A=800\: m$ .

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Brevi lezioni

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Esercizio 124 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Esercizio 123 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Esercizio 122 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Esercizio 121 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Esercizio 120 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Esercizio 119 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Esercizio 118 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Esercizio 117 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Esercizio 116 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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Esercizio 115 sulla velocità e sul moto rettilineo uniforme – Esercizi svolti – FISICA

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