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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 64 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

Un contenitore è parzialmente riempito d’acqua e coperto da un tappo. L’aria presente sopra il liquido viene aspirata. La figura rappresenta il grafico della pressione $p$ nel liquido al variare della profondità $h$ .

Determina la pressione dell’aria rimasta sopra il liquido.
Determina la densità del liquido.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che quando ci sono in gioco le pressioni all’interno di un liquido di densità $d$ in funzione della profondità $h$ la legge che descrive tale fenomeno è la legge di Stevino, la quale ci dice che

$p_2=p_1+d\cdot h\cdot g$

dove i punti $1$ e $2$ all’interno del liquido sono arbitrari e ovviamente $h$ dipende dalla scelta effettuata. A questo punto rispondiamo alle due domande. Per visualizzare la pressione dell’aria rimasta sopra il liquido ci basta osservare nel grafico la pressione a livello $h=0\: m$ , quindi è $1,2\cdot 10^3\: Pa$ . Per calcolare la pressione fissiamo due punti, ad esempio $1$ a profondità $0\: m$ e $2$ a profondità $0,2\: m$ , e poi utilizziamo la legge di Stevino, per cui

$d={2,4\cdot 10^3\: Pa-1,2\cdot 10^3\:Pa\over 0,2\: m\cdot 9,81\: N/kg}\approx 611,6\: kg/m^3$

Notiamo esplicitamente che il liquido, contrariamente a quello detto nel testo, non può essere acqua per via della densità troppo bassa.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 63 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Giovanni sta gonfiando una mongolfiera con elio (densità $0,179\: kg/m^3$ ). La mongolfiera deve sollevarsi in aria con un carico di $190\: kg$ . La massa del pallone è trascurabile rispetto a quello del carico. Calcola il volume che deve raggiungere il pallone della mongolfiera perchè inizi ad alzarsi verso l’alto.

SVOLGIMENTO

Sulla mongolfiera agiscono due forze: la forza peso (complessiva del carico e del peso dell’elio nel pallone siccome la massa del pallone è trascurabile) e la spinta di Archimede. La prima tenderà a far rimanere a terra il pallone, mentre la seconda forza è quella che genera la spinta verso l’alto. Il pallone inizierà a sollevarsi esattamente quando la spinta di Archimede supererà la forza peso. Quindi cerchiamo di capire il volume che il pallone deve avere per rendere uguali le due forze, ossia

$F_a= F_p\Rightarrow V\cdot d_a\cdot g=(V\cdot d_e+m_c)\cdot g$

Osservo esplicitamente che senza la densità dell’aria questo esercizio è impossibile da risolvere siccome la spinta di Archimede dipende dalla densità del fluido nel quale è immerso. Pertanto fissiamo tale densità a $1,29\: kg/m^3$ . da cui

$V\cdot d_a=V\cdot d_e+m_c\Rightarrow V={m_c\over d_a-d_e}$

$V={190\: kg\over 1,29\: kg/m^3-0,179\: kg/m^3}\approx 171\: m^3$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 62 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un impianto di pompaggio di un palazzo porta la pressione dell’acqua, al piano terra, a $4,8\cdot 10^5\: Pa$ . A quale altezza la pressione si riduce a $2,0\cdot 10^5\: Pa$ ?

SVOLGIMENTO

Abbiamo un tubo pieno di acqua nella quale $p_2$ , cioè la pressione al livello di profondità $h$ è una pressione nota, ossia $4,8\cdot 10^5\: Pa$ . Se fissiamo il livello $h=0$ nel punto in cui la pressione è $p_1=2,0\cdot 10^5\: Pa$ allora la $h$ della legge di Stevino ci fornisce esattamente il dislivello tra il punto $1$ e il punto $2$ . Quindi da

$p_2=p_1+d\cdot h\cdot g\Rightarrow h={p_2-p_1\over d\cdot g}$

per cui

$h={4,8\cdot 10^5\: Pa-2,0\cdot 10^5\: Pa\over 1000\:kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg}\approx 28,54\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 61 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un tecnico ha una massa $m=75\: kg$ e deve salire su un dirigibile con la sua attrezzatura per effettuare misurazioni ad alta quota. Il dirigibile è riempito di elio e ha un volume di $650\: m^3$ . La densità dell’atmosfera è pari a $1,21\: kg/m^3$ e quella del gas elio è di $0,179\: kg/m^3$ . Quanto vale la spinta di Archimede sul dirigibile? Determina per quale valore della massa $M$ dell’attrezzatura la forza peso totale del dirigibile ha la stessa intensità della spinta di Archimede.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la spinta di Archimede è una forza diretta verso l’alto di modulo pari alla forza peso del fluido spostato, quindi

$F_a=V\cdot d_{atm}\cdot g=650\: m^3\cdot 1,21\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg\approx 7716\: N$

La forza peso del sistema tecnico/attrezzatura/dirigibile la possiamo facilmente calcolare facendo

$F_p=(m+m_d+M)\cdot g\Rightarrow M={F_p\over g}-m-V\cdot d_e$

dove $m_d=V\cdot d_e$ . Per cui

$M={F_p\over g}-m-V\cdot d_e={7716\: N\over 9,81\: N/kg}-75\: kg-650\: m^3\cdot 0,179\: kg/m^3\approx 595\: kg$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 60 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un recipiente con l’estremità superiore aperta è riempito d’acqua. Determina la differenza di pressione tra i punti dell’acqua che si trovano a una profondità rispettivamente di $0,50\: m$ e di $0,40\: m$ .

SVOLGIMENTO

Sappiamo che per determinare la differenza di pressione tra due quote in un fluido di densità $d$ si utilizza la legge di Stevino, la quale ci dice che

$\Delta p=d\cdot \Delta h\cdot g=1000\: kg/m^3\cdot 0,10\: m\cdot 9,81\: N/kg\approx 981\: Pa$

Osserviamo esplicitamente che questa versione della legge di Stevino è esattamente uguale alla versione classica

$p_2=p_1+d\cdot h\cdot g$

dove ho portato a sinistra il termine $p_1$ e al posto di $h$ abbiamo scritto $\Delta h$ , ricordando che $h$ nella formula di Stevino è la differenza di quota tra il punto $1$ e il punto $2$ .

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 59 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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I palloni stratosferici sono enormi aerostati in polietilene, che possono raggiungere il diametro di $200\: m$ , lanciati con un carico di strumenti di rilevazione per effettuare esperimenti scientifici nell’alta atmosfera (possono arrivare a $40000\: m$ di quota). In Europa partono da due centri di lancio situati in Francia e in Sicilia e sono trasportati dal vento per migliaia di chilometri finché atterrano per poi essere recuperati. Un pallone stratosferico pieno di elio (densità $0,179\: kg/m^3$ ) sale in aria (densità $1,29\: kg/m^3$ ) sollevato da una spinta ascensionale pari a $7,12\times 10^5\: N$ . Quale è il volume del pallone? (Trascura la massa dell’involucro rispetto alla massa di elio).

SVOLGIMENTO

Sul pallone agiscono due forze la forza peso, alla quale daremo il segno negativo e che punta verso il basso, e la spinta di Archimede, che contrasta la forza peso alla quale daremo il segno positivo. La spinta ascensionale che fa muovere il pallone aerostatico verso l’alto altro non è che la differenza tra queste due forze, ossia

$F=F_a-F_p=V\cdot d_a\cdot g-d_e\cdot V\cdot g=V\cdot(d_a\cdot g-d_e\cdot g)$

da cui

$V={F\over d_a\cdot g-d_e\cdot g}={7,12\times 10^5\: N\over 1,29\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg-0,179\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg}\approx 6,53\times 10^4\: m^3$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 58 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un recipiente con l’estremità superiore aperta all’aria è riempito con un liquido. Alla profondità di $0,44\: m$ la pressione è $1,6\cdot 10^5\: Pa$ . Determina la densità del liquido.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che quando dobbiamo calcolare la pressione a una certa quota in un liquido di densità $d$ dobbiamo utilizzare la legge di Stevino. Ossia

$p_2=p_1+d\cdot h\cdot g$

dove in questo caso $p_1$ , ossia la pressione alla quota $h=0\: m$ , è la pressione atmosferica perchè ci viene detto che il recipiente è esposto all’aria nella sua parte superiore. Pertanto

$d={p_2-p_1\over h\cdot g}={1,6\cdot 10^5\: Pa-101325\: Pa\over 0,44\: m\cdot 9,81\: N/kg}\approx 1,36\cdot 10^4\: kg/m^3$

E osserviamo che siccome stiamo parlando di un liquido con una densità così elevata si potrebbe trattare di mercurio.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 57 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un geologo vuole determinare la densità di una roccia che ha trovato. La pone su una bilancia e legge il valore di $316\: g$ . Poi appende la roccia a un dinamometro e la immerge in un liquido di densità $830\: kg/m^3$ . Il dinamometro misura una forza peso corrispondente a una massa di $16\: g$ . Quanto vale la densità della roccia?

SVOLGIMENTO

Le forze che agiscono sulla roccia sono la forza peso, a cui le diamo segno positivo che tenderebbe a far affondare la roccia, e la spinta di Archimede, opposta alla forza peso per cui le daremo il segno negativo che tenderà a far galleggiare la roccia. Il dinamometro sta misurando di quanto la forza peso supera la spinta di Archimede, ossia

$F_d=F_p-F_a\Rightarrow m_c\cdot g=m\cdot g-V\cdot d_l\cdot g$

Manipolando la formula scritta sopra, e ricordando che $d_r={m\over V}$ , ricavo che

$m_c\cdot g=m\cdot g-{m\over d_r}\cdot d_l\cdot g$

$d_r={m\cdot d_l\over m-m_c}={0,316\: kg\cdot 830\: kg/m^3\over 0,316\: kg-0,016\: kg}\approx 864\: kg/m^3$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 56 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un sub si trova a una certa profondità sotto il livello del mare (densità $1025\: kg/m^3$ ). La pressione a quella profondità è $1,626\cdot 10^5\: Pa$ . Determina a quale profondità si trova il sub.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che quando dobbiamo relazionare la pressione all’interno di un fluido di densità $d$ in relazione alla sua quota ci viene sempre in soccorso la legge di Stevino, la quale ci dice che

$p_2=p_1+d\cdot h\cdot g$

dove in questo esercizio $p_1$ , ossia la pressione alla quota $h=0\: m$ , risulta essere la pressione atmosferica che l’aria esercita sulla superficie del mare. Da cui

$h={p_2-p_1\over d\cdot g}={1,626\cdot 10^5\: Pa-101325\: Pa\over 1025\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg}\approx 6,09\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 55 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Il braccio di una gru può esercitare al massimo una forza di intensità $F_{max}=6,0\times 10^5\: N$ . Durante le operazioni per la costruzione di un pontile in mare (densità dell’acqua $1020\: kg/m^3$ ) con il braccio della gru si devono sollevare dal fondale due basamenti (1 e 2) di forma cubica che hanno il lato rispettivamente di $3,2\: m$ e $4,5\: m$ e una massa di $150\: t$ ciascuno. Risulta possibile sollevarli con questa gru?

SVOLGIMENTO

I due blocchi sono immersi in mare, quindi su tali blocchi verrà esercitata sia la forza peso, che tenderà a far affondare i blocchi di cemento, sia la spinta di Archimede, che tenderà a far galleggiare i blocchi. Ossia

$F_1=F_1^p-F_1^a$

$F_2=F_2^p-F_2^a$

dove abbiamo scelto positiva la direzione concorde con la forza peso. Se tale forza dovesse risultare minore della $F_{max}$ allora la gru sarà in grado di alzare il blocco