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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 74 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

Un recipiente pieno di mercurio (densità $13600\: kg/m^3$ ) è collegato a un tubo a U. Il recipiente (a sinistra nella figura) ha l’estremità superiore aperta e il mercurio è a contatto con l’aria. Il tubo a U ha la sua estremità superiore sigillata. L’altezza del recipiente è $l=0,85\: m$ . Il punto $A$ si trova nel tubo a U a un’altezza $h=0,40\: m$ dal fondo del recipiente. Calcola la pressione assoluta nel punto $A$ . Calcola la pressione relativa nel punto $A$ .

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la forma del recipiente non ci interessa, la differenza di pressione all’interno dei un fluido dipende esclusivamente da due fattori, ossia la densità del liquido e la sua profondità. Pertanto, utilizzando la legge di Stevino, possiamo dire che

$p_A=p_{atm}+d\cdot h_A\cdot g$

dove osserviamo che compare il termine $p_{atm}$ perchè a sinistra il tubo è aperto mentre a destra no, inoltre osserviamo anche che $h_A=l-h$ perchè quello che conta è la profondità del punto $A$ rispetto alla superficie del mercurio nel serbatoio. Quindi

$p_A=101325\: Pa+13600\: kg/m^3\cdot 0,45\: m\cdot 9,81\: N/kg\approx 1,6\cdot 10^5\: Pa$

La pressione relativa è la pressione calcolata considerando la pressione atmosferica come riferimento, ossia

$p_A^{rel}=p_A-p_{atm}\approx 6\cdot 10^4\: Pa$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 73 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Sul monte Everest (altitudine di circa $8840\: m$ ) la pressione atmosferica vale circa $3,3\times 10^4\: Pa$ . Quanto sarebbe alta in questo caso la colonna di mercurio dell’esperimento di Torricelli?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che l’esperimento di Torricelli consiste nel far equilibrare la pressione atmosferica dalla pressione esercitata da una colonna di mercurio (sappiamo che la densità del mercurio è $d=13,6\times 10^3\: kg/m^3$ ). Per cui, utilizzando la legge di Stevino per calcolare la pressione della colonna di mercurio, possiamo scrivere che

$p_{atm}=d\cdot h\cdot g$

$h={p_{atm}\over d\cdot g}={3,3\times 10^4\:Pa\over 13,6\times 10^3\:kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg}\approx 0,247\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 72 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un tubo a U è riempito con acqua (densità $1000\: kg/m^3$ ). In uno dei due rami viene poi aggiunto dell’olio (densità $800\: kg/m^3$ ). La figura mostra i due liquidi in equilibrio. Il punto $B$ è all’altezza della superficie di separazione tra i due liquidi. Il punto $A$ ha la stessa altezza del punto $B$ . L’altezza della colonna di olio è $h_o=15\: cm$ . I due rami del tubo sono aperti superiormente. Determina l’altezza $h_a$ della colonna d’acqua sopra il punto $A$ .

SVOLGIMENTO

Prima di risolvere l’esercizio dal punto di vista numerico osserviamo un paio di cose. Innanzitutto possiamo supporre che la pressione atmosferica su entrambi i lati del tubo sia uguale, inoltre la pressione esercitata dall’acqua nel punto $A$ e nel punto $B$ è ovviamente costante, siccome si trovano alla stessa altezza, pertanto possiamo concludere che la pressione esercitata dalla colonna di acqua di altezza $h_a$ deve essere uguale alla pressione esercitata dalla colonna di olio di altezza $h_o$ . Ossia

$p_{acqua}=p_{olio}$

dove queste due pressioni le possiamo determinare con la legge di Stevino, ossia

$d_a\cdot h_a\cdot g=d_o\cdot h_o \cdot g$

$h_a={d_o\cdot h_o\over d_a}={800\: kg/m^3\cdot 0,15\: m\over 1000\: kg/m^3}=0,12\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 71 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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In una giornata di alta pressione, la colonna di mercurio ( $d=13,6\times 10^3\: kg/m^3$ ) dell’esperienza di Torricelli è alta $790\: mm$ . Quanto vale la pressione atmosferica quel giorno?

SVOLGIMENTO

L’esperienza di Torricelli consiste nell’equilibrare la pressione atmosferica con la pressione esercitata da una colonna di mercurio di altezza variabile. La pressione di tale colonna di mercurio è facilmente determinabile dalla formula di Stevino, pertanto

$p_{atm}=d\cdot h\cdot g=13,6\times 10^3\: kg/m^3\cdot 0,79\: m\cdot 9,81\: N/kg\approx 1,05\times 10^5\: Pa$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 70 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Durante una gita con i boy scout Simone costruisce una zattera fissando uno accanto all’altro dei tronchi di legno (densità $550\: kg/m^3$ ). Le dimensioni della zattera sono di $2,6\: m$ e $1,8\: m$ e il diametro dei tronchi è di $38\: cm$ . Vorrebbe usare la zattera per guadare un fiume insieme al suo compagno di scuola. La massa totale dei due ragazzi è di $90\: kg$ . Di quanti centimetri affonda nell’acqua la zattera con i due ragazzi a bordo mentre attraversa il fiume?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che sulla zattera quando galleggia la forza peso è esattamente equilibrata dalla spinta di Archimede relativa alla parte della zattera immersa nell’acqua. Consideriamo la zattera come un parallelepipedo di dimensioni $2,6\: m$ , $1,8\: m$ e $0,38\: m$ , allora

$F_p=F_a$

$m_z\cdot g+m_r\cdot g=V_{imm}\cdot d_a\cdot g$

$V_{tot}\cdot d_l\cdot g+m_r\cdot g=V_{imm}\cdot d_a\cdot g$

$V_{imm}={V_{tot}\cdot d_l+m_r\over d_a}={2,6\cdot 1,8\cdot 0,38\: m^3\cdot 550\: kg/m^3+90\: kg\over 1000\: kg/m^3}\approx 1,07\: m^3$

A questo punto per calcolare di quanto affonda la zattera calcoliamo che altezza deve avere un parallelepipedo che ha due dimensioni di $2,6\: m$ e $1,8\: m$ per avere un volume di $1,07\: m^3$ , cioè

$h={1,07\: m^3\over 2,6\: m\cdot 1,8\: m}\approx 0,228\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 69 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un tubo contiene volumi uguali di acqua (densità $1000\: kg/m^3$ ) e olio (densità $800\: kg/m^3$ ). La parte superiore del tubo è chiusa ed è stata aspirata l’aria sopra l’olio. In fondo al tubo la pressione è $2820\: Pa$ . Calcola l’altezza di ciascuna colonna di liquido. Calcola a che profondità la pressione è $1410\: Pa$ .

SVOLGIMENTO

Siccome l’aria sopra l’olio è stata aspirata la pressione sulla superficie dell’olio è nulla, pertanto la pressione di $2820\: Pa$ è dovuta esclusivamente alla forza peso dei due liquidi. Se chiamiamo $h$ le due altezze (che sono uguali) di olio e acqua, allora possiamo scrivere la legge di Stevino come

$p_2=d_o\cdot h\cdot g+d_a\cdot h\cdot g$

$h={p_2\over (d_o+d_a)\cdot g}={2820\: Pa\over (800\: kg/m^3+1000\: kg/m^3)\cdot 9,81\: N/kg}\approx 0,16\: cm$

Per rispondere alla seconda domanda osserviamo innanzitutto che la pressione dell’intera colonna d’olio la possiamo calcolare con la legge di Stevino

$p_{olio}=d_o\cdot h\cdot g=800\: kg/m^3\cdot 0,16\: m\cdot 9,81\: N/kg\approx 1256\: Pa$

Pertanto il punto cercato si trova in mezzo all’acqua, allora calcoliamo la profondità utilizzando la legge di Stevino concentrandoci esclusivamente nella porzione di acqua, quindi

$p_2=p_1+d_a\cdot h\cdot g$

$h={p_2-p_1\over d_a\cdot g}={1410\: Pa-1256\: Pa\over 1000\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg}\approx 0,016\: m$

Pertanto, siccome quest’ultimo risultato è la profondità all’interno della colonna di sola acqua, la profondità complessiva sarà $0,16\: m+0,016\: m=0,176\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 68 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un iceberg galleggia in mare. La densità dell’acqua è $1025\: kg/m^3$ e la parte emersa dell’iceberg è il $10\: \%$ del volume totale. Quale è la densità del ghiaccio?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che il fenomeno del galleggiamento è dovuto alla spinta di Archimede relativa alla parte immersa nell’acqua, inoltre sappiamo che tale parte in questo esercizio è del $90\: \%$ , ossia ${V_{imm}\over V_{tot}}=0,90$ . Scriviamo ora il bilanciamento tra la forza peso e la spinta di Archimede, ossia

$F_p=F_a$

$m\cdot g=V_{imm}\cdot d_a\cdot g$

$V_{tot}\cdot d_g\cdot g=V_{imm}\cdot d_a\cdot g$

$d_g={V_{imm}\over V_{tot}}\cdot d_a=0,90\cdot 1025\: kg/m^3= 922,5\: kg/m^3$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 67 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un cubetto di ghiaccio è immerso in una ciotola d’acqua. La densità del ghiaccio è $d_g=917\: kg/m^3$ . Quale percentuale del volume totale del cubetto emerge in superficie oltre il livello dell’acqua nella ciotola? Il risultato dipende dalla dimensione del cubetto? Consideriamo il cubetto immerso in acqua salata ( $d_{a.s.}=1020\: kg/m^3$ ) invece che dolce. La frazione di cubetto aumenta o diminuisce?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che il ghiaccio galleggia sull’acqua, quindi la spinta di Archimede relativa alla parte sommersa di ghiaccio e la forza peso del ghiaccio si equivalgono, pertanto

$F_a=F_p$

$V_{imm}\cdot d_a\cdot g=V_{tot}\cdot d_g\cdot g$

da cui

${V_{imm}\over V_{tot}}={d_g\over d_a}={917\: kg/m^3\over 1000\: kg/m^3}=0,917$

quindi la percentuale immersa è del $91,7\: \%$ , mentre la percentuale fuori dall’acqua è $8,3\: \%$ . Risulta evidente dal ragionamento fatto che tali percentuali non dipendano assolutamente dalla dimensione o dalla forma del ghiaccio. Concludiamo osservando che nel caso in cui l’acqua fosse salata la percentuale fuori dall’acqua sarebbe maggiore, per dire questo abbiamo due modi, uno è ragionare sulla formula quindi calcolare il rapporto precedente mettendo a denominatore la densità dell’acqua salata. L’altro modo è più “fisico” e ragiona sul concetto di spinta di Archimede, se immergo il ghiaccio nell’acqua salata a parità di volume la spinta di Archimede sarà maggiore, quindi per equilibrare la forza peso (che ovviamente non cambia) mi servirà un volume immerso minore.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 66 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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In un recipiente, con l’estremità superiore aperta, viene versata una certa quantità di acqua (densità $1000\: kg/m^3$ ) e poi una certa quantità di olio (densità $800\: kg/m^3$ ). I due liquidi non si mescolano. Sulla superficie libera dell’olio agisce la pressione atmosferica. Il punto $A$ si trova a una profondità $h_A=0,500\: m$ e il punto $B$ a una profondità $h_B=1,500\: m$ . L’altezza della colonna d’olio è $h_o=1,000\: m$ . Calcola la pressione nei punti $A$ e $B$ .

SVOLGIMENTO

Sappiamo che quando dobbiamo calcolare la pressione all’interno di un liquido di densità $d$ dobbiamo utilizzare la legge di Stevino. Il calcolo della pressione nel punto $A$ è esattamente l’applicazione della legge di Stevino, cioè

$p_A=p_1+d_o\cdot h\cdot g$

dove $p_1$ sarà la pressione alla quota $h=0\: m$ , cioè la pressione atmosferica, allora

$p_A=101325\: Pa+800\: kg/m^3\cdot 0,5\: m\cdot 9,81\: N/kg\approx 1,05\cdot 10^5\: Pa$

Per calcolare la pressione nel punto $B$ utilizziamo sempre la legge di Stevino

$p_B=p_1+d_a\cdot h\cdot g$

dove questa volta $p_1$ sarà la pressione nello strato che separa l’olio dall’acqua, e anche questa pressione la calcoliamo con la legge di Stevino

$p_1=p_{atm}+d_o\cdot h_o\cdot g$

da cui

$p_B=p_{atm}+d_o\cdot h_o\cdot g+d_a\cdot h\cdot g$

$p_B=101324\: Pa+800\: {kg\over m^3}\cdot 1\: m\cdot 9,81\: {N\over kg}+1000\: {kg\over m^3}\cdot 0,5\: m\cdot 9,81\: {N\over kg}\approx 1,14\cdot 10^5\: Pa$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 65 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Al mare, ti lasci andare in acqua restando a galla fermo sul dorso. La tua massa è $62\: kg$ e la densità dell’acqua è $1025\: kg/m^3$ . Calcola il volume della parte immersa del tuo corpo.

SVOLGIMENTO

Sul corpo agiscono due forze, la forza peso che tenderebbe a far affondare il corpo e la spinta di Archimede che farà stare a galla il corpo. Nel momento in cui il corpo rimane fermo a galla allora vuol dire che la spinta di Archimede relativa alla parte sommersa ha modulo uguale alla forza peso del corpo, ossia

$F_p=F_a$

$m\cdot g=V_{imm}\cdot d\cdot g$

$V_{imm}={m\over d}={62\: kg\over 1025\: kg/m^3}\approx 0,06\: m^3$

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