Possiamo disegnare lo spostamento totale della biciclette nel tratto da a nel seguente modo

pertanto il vettore spostamento ha le seguenti componenti

   

e quindi, grazie alla definizione di velocità, possiamo calcolare le componenti della velocità media come

   

il cui modulo sarà

   

Per determinare il modulo e le componenti dell’accelerazione cerchiamo di disegnare i vettori velocità per vedere poi come sarà l’accelerazione.

Tutta la difficoltà dell’esercizio sta nel determinare l’angolo che fa con l’asse . Possiamo osservare che tale angolo è lo stesso che il segmento fa con l’asse e pertanto lo possiamo determinare con

   

da cui possiamo determinare le componenti di e poi calcolare ossia

   

   

   

da cui possiamo determinare le componenti dell’accelerazione e in seguito il suo modulo

   

   

Per risolvere questo esercizio può essere utile rappresentare gli spostamenti dell’uomo su un piano cartesiano, ossia

Lo spostamento complessivo, vettore viola, lo possiamo determinare sommando i tre spostamenti singoli. I primi due spostamenti, essendo paralleli agli assi, sono relativamente semplici da analizzare. Analizziamo quindi per primo il terzo spostamento . Grazie alle proprietà dei triangoli rettangoli possiamo dire che

   

a questo punto lo spostamento complessivo sarà

   

   

   

per cui possiamo determinare lo spostamento totale con il teorema di Pitagora

   

mentre l’angolo formato con la direzione est (ossia l’asse ) lo possiamo calcolare con l’arcotangente, cioè

   

Infine calcoliamo la velocità media usando la definizione di velocità, ossia

   

Di possibili modi per andare da a tramite due spostamenti e ce ne sono infiniti, pertanto noi ne proponiamo uno qualunque.

Nonostante di modi ce ne siano infiniti lo spostamento complessivo è sempre il vettore viola pertanto la velocità avrà sempre la direzione e il verso del vettore viola. Per quanto invece riguarda il modulo della velocità quello non solo dipende dagli spostamenti fatti (ovvero dipende da quanto spazio percorro), ma anche dal tempo necessario a compiere tale spostamento.

Osserviamo immediatamente che il triangolo è un triangolo isoscele, infatti i due lati blu sono entrambi lunghi . Inoltre possiamo anche vedere che l’angolo è di per cui gli altri due angoli, che sappiamo essere congruenti, saranno di . Ne segue immediatamente che l’inclinazione del vettore posizione è di , inoltre il triangolo si spessa in due mezzi triangoli equilateri di lato e il segmento rosso è lungo il doppio dell’altezza. In definitiva

   

Il vettore spostamento è il vettore disegnato in rosso nel disegno, e possiamo calcolarlo andando a sommare i tre spostamenti disegnanti in blu. I primi due spostamenti sono semplici da analizzare perchè sono paralleli agli assi, vediamo di determinare le coordinate del terzo. Grazie alle proprietà dei triangoli rettangoli possiamo dire che

   

a questo punto lo spostamento complessivo sarà

   

   

   

per cui possiamo determinare lo spostamento totale con il teorema di Pitagora

   

mentre l’angolo formato con la direzione est (ossia l’asse ) lo possiamo calcolare con l’arcotangente, cioè

   

Infine calcoliamo la velocità media usando la definizione di velocità, ossia

   

Ricordiamo che il vettore accelerazione è il vettore definito come

   

Per prima cosa allora calcoliamo , osserviamo che

   

   

   

Per calcolare l’accelerazione dobbiamo prima calcolare in quanto tempo l’automobile percorre quel quarto di circonferenza, ma siccome procede a velocità costante sappiamo che

   

e siccome lo spazio percorso è appunto un quarto di circonferenza

   

Da cui

   

che quindi ha direzione lungo la bisettrice del primo e terzo quadrante e verso negativo (ossia verso il terzo quadrante), mentre il modulo è

   

Per disegnare il vettore variazione di velocità poniamo e applicate nello stesso punto e con la regola del parallelogramma determiniamo il vettore (vettore viola).

Mentre per determinare le sue coordinate prima determiniamo le coordinate di e e poi le sottraiamo. Dal grafico possiamo dedurre che

   

   

per cui

   

il cui modulo è

   

Per rispondere alla seconda domanda ricordiamo che l’accelerazione è definita come

   

Per disegnare i vettori spostamento ricordiamoci di essere in un moto in due dimensioni e che il grafico rappresenta esattamente la traiettoria, perciò basta disegnare i vettori che partono dal punto e arrivano rispettivamente nei punti , e .

Una volta disegnati i vettori spostamenti andiamo a calcolare la velocità media in ognuno dei tre tratti. Per determinare la velocità media utilizziamo la definizione

   

dove la lunghezza degli spostamenti, ossia la lunghezza dei tre vettori, la possiamo calcolare utilizzando il teorema di Pitagora. Pertanto

   

   

   

Siccome il tempo trascorso è piccolissimo, e quindi anche lo spazio percorso sarà sufficientemente piccolo, possiamo considerare di determinare la velocità istantanea nel punto applicando semplicemente la definizione di velocità media. A questo punto sappiamo che

   

Per prima cosa utilizziamo il disegno per calcolare quanto è la distanza tra Siena e Arezzo, una volta fatto questo grazie alla definizione di velocità calcoliamo il tempo necessario all’auto per compiere il viaggio. La distanza tra Siena e Arezzo, freccia rossa, è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti e , come possiamo vedere in figura

dove la lunghezza dei cateti l’abbiamo ottenuta contando i quadretti. A questo punto

   

E quindi