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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 105 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

Un recipiente di peso trascurabile ha forma cilindrica. Quando è pieno di olio ( $d_{olio}=800\: kg/m^3$ ), il recipiente esercita sul suolo una pressione $p_1=4,3\cdot 10^3\: Pa$ ; mentre quando è pieno di acqua ( $d_{acqua}=1000\: kg/m^3$ ), il recipiente pesa $F=2,1\cdot 10^3\: N$ . Determina l’altezza e il raggio di base del recipiente.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la pressione è definita come

$p={F\over A}={m\cdot g\over A_b}$

Nel nostro caso abbiamo che

$p={V\cdot d_{olio}\cdot g\over A_b}={A_b\cdot h\cdot d_{olio}\cdot g\over A_b}$

$h={p\over g\cdot d_{olio}}={4,3\cdot 10^3\: Pa\over 9,81\: N/kg\cdot 800\: kg/m^3}\approx 0,55\: m$

Inoltre sappiamo che quando il recipiente viene riempito di acqua la forza peso è data da

$F_p=V\cdot d_a\cdot g=A_b\cdot h\cdot d_a\cdot g=r^2\cdot \pi\cdot h\cdot d_a\cdot g$

$r=\sqrt{{F_p\over \pi\cdot h\cdot d_a\cdot g}}=\sqrt{{2,1\cdot 10^3\: N\over \pi\cdot 0,55\: m\cdot 1000\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg}}\approx 0,35\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 104 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Due blocchi $A$ e $B$ di forma cubica e dello stesso peso sono appoggiati al suolo. Il lato di $A$ è lungo $7,5\: cm$ . La pressione esercitata dal blocco $B$ sul suolo supera del $12\%$ la pressione esercitata dal blocco $A$ . Determina la differenza tra il lato di $A$ e il lato di $B$ .

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la definizione di pressione è

$p={F\over A}\Rightarrow F=p\cdot A$

In questo esercizio sappiamo che le due forze che esercitano la pressione sono uguali, pertanto

$F_A=F_B$

$p_A\cdot A_A=p_B\cdot A_B$

$p_A\cdot A_A=1,12\cdot p_A\cdot A_B$

$p_A\cdot l_A^2=1,12\cdot p_A\cdot l_B^2$

$l_B=\sqrt{{p_A\cdot l_A^2\over 1,12\cdot p_A}}$

$l_B=\sqrt{{0,075^2\: m^2\over 1,12}}\approx 0,0709\: m$

Quindi la differenza tra i due lati è $l_A-l_B=7,5\: cm-7,09\: cm=0,41\: cm$ .

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 103 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un lingotto è composto da una lega di oro ( $d=1,93\times 10^4\: kg/m^3$ ) e argento ( $d=1,05\times 10^4\: kg/m^3$ ) e ha la massa di $0,802\: kg$ . Se si immerge il lingotto in acqua distillata, appeso a un dinamometro, il suo peso risulta $7,19\: N$ . Quale volume di oro e quale volume di argento sono contenuti nel lingotto?

SVOLGIMENTO

Per la risoluzione di questo problema conosciamo diverse cose, proviamo a scriverle tutte in maniera ordinata. Intanto conosciamo la definizione di densità, ossia

$d_{oro}={m_{oro}\over V_{oro}}\Rightarrow V_{oro}={m_{oro}\over d_{oro}}$

$d_{argento}={m_{argento}\over V_{argento}}\Rightarrow V_{argento}={m_{argento}\over d_{argento}}$

poi sappiamo sicuramente che

$m_{tot}=m_{argento}+m_{oro}\Rightarrow m_{oro}=m_{tot}-m_{argento}$

$V=V_{oro}+V_{argento}$

Inoltre sappiamo che la forza misurata dal dinamometro è la risultante tra la forza peso, che tenderebbe a far affondare il lingotto, e la spinta di Archimede che tenderebbe a farlo galleggiare, ossia

$F_{din}=F_p-F_a=m_{tot}\cdot g-V\cdot d_{acqua}\cdot g$

Quindi se mettiamo a sistema queste equazioni e cerchiamo di ricavare i due volumi sostituendo nell’ultima troviamo

$F_{din}=m_{tot}\cdot g-(V_{oro}+V_{argento})\cdot d_{acqua}\cdot g$

${F_{din}\over g}=m_{tot}-(V_{oro}+V_{argento})\cdot d_{acqua}$

${F_{din}\over g}=m_{tot}-{m_{oro}\over d_{oro}}\cdot d_{acqua}-{m_{argento}\over d_{argento}}\cdot d_{acqua}$

${F_{din}\over g}=m_{tot}-{m_{tot}-m_{argento}\over d_{oro}}\cdot d_{acqua}-{m_{argento}\over d_{argento}}\cdot d_{acqua}$

${F_{din}\over g}=m_{tot}-{m_{tot}\over d_{oro}}\cdot d_{acqua}+{m_{argento}\over d_{oro}}\cdot d_{acqua}-{m_{argento}\over d_{argento}}\cdot d_{acqua}$

$m_{argento}\cdot ({d_{acqua}\over d_{oro}}-{d_{acqua}\over d_{argento}})={F_{din}\over g}-m_{tot}+{m_{tot}\over d_{oro}}\cdot d_{acqua}$

$m_{argento} =({F_{din}\over g}-m_{tot}+{m_{tot}\over d_{oro}}\cdot d_{acqua})/({d_{acqua}\over d_{oro}}-{d_{acqua}\over d_{argento}})$

$m_{argento} ={{7,19\: N\over 9,81\: N/kg}-0,802\: kg+{0,802\: kg\over 1,93\times 10^4\: kg/m^3}\cdot 10^3\: kg/m^3\over {10^3\: kg/m^3\over 1,93\times 10^4\: kg/m^3}-{10^3\: kg/m^3\over 1,05\times 10^4\: kg/m^3}}\approx 0,634\: kg$

$m_{oro}=m_{tot}-m_{argento}\approx 0,168\: kg$

Da cui

$V_{oro}={m_{oro}\over d_{oro}}={ 0,168\: kg\over 1,93\times 10^4\: kg/m^3}\approx 8,72\times 10^{-6}\: m^3$

$V_{argento}={m_{argento}\over d_{argento}}={0,634\: kg\over 1,05\times 10^4\: kg/m^3}\approx 6,04\times 10^{-5}\: m^3$

Osserviamo un paio di cose prima di concludere l’esercizio:
1- i risultati sono numeri estremamente piccoli quindi anche poche approssimazioni faranno cambiare il valore in maniera abbastanza significativa.
2- è facile controllare che i risultati ottenuti sono quelli corretti, infatti immaginiamo di avere due risultati alternativi come:

$V_{argento}=58,7\: cm^3$

$V_{oro}=9,62\: cm^3$

allora potremmo calcolare la misura che dovrebbe ottenere il dinamometro facendo

$F_{din}=F_p-F_a=m\cdot g-V_{tot}\cdot d_{acqua}\cdot g$

$F_{din}=0,802\: kg\cdot 9,81\: N/kg-(5,87\times 10^{-5}m^3+9,62\times 10^{-6}\: m^3)\cdot 10^3\;kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg\approx 7,1974\: N$

che ovviamente è diverso dal dato presente nell’esercizio.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 102 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un esploratore deve attraversare un lago ghiacciato. La massa dell’esploratore con la sua attrezzatura è $m=115\: kg$ . La pressione massima che il lago può sopportare, in aggiunta alla pressione atmosferica, è $1,1\: N/cm^2$ . Per evitare che il ghiaccio si rompa, l’esploratore decide di mettere ai piedi delle racchette da neve. Determina il raggio minimo che devono avere delle racchette circolari per consentire allo sciatore di attraversare il lago.

SVOLGIMENTO

Conosciamo la pressione massima che il ghiaccio può sopportare, quindi la superficie minima delle racchette coinciderà con la pressione massima sopportata dal ghiaccio, ossia

$p_e=p_{max}$

${F_p\over A_{min}}=p_{max}$

${m\cdot g\over r_{min}^2\cdot \pi}=p_{max}$

$r_{min}=\sqrt{{m\cdot g\over \pi\cdot p_{max}}}$

$r_{min}=\sqrt{{115\: kg\cdot 9,81\: N/kg\over \pi\cdot 11000\: Pa}}\approx 0,18\: m$

Osserviamo che la pressione massima deve essere espressa in $Pa=N/m^2$ , quindi è necessaria una conversione prima di procedere al calcolo.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 101 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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I pesci dispongono di un organo, la vescica natatoria, simile a un sacchetto elastico. Le sue parete sono irrorate da numerosissimi capillari, tramite i quali il pesce può immettere gas (azoto, ossigeno e anche anidride carbonica) nella vescica, gonfiandola, oppure riassorbirli sgonfiandola. La quantità di gas contenuta all’interno della vescica è variabile; quest’ultima, aumentando o diminuendo di volume, permette al pesce di regolare la spinta di Archimede su se stesso.
Un grosso pesce di $1,96\: kg$ nuota orizzontalmente in mare ( $d=1025\: kg/m^3$ ). La densità media del pesce, con la vescica natatoria sgonfia, è maggiore di quella dell’acqua di mare, e vale $1060\: kg/m^3$ . La spinta di Archimede sul pesce vale $20,0\: N$ . Quale è il volume della vescica natatoria del pesce a quella profondità?

SVOLGIMENTO

Se il pesce nuoto orizzontalmente a quella profondità vuol dire che la densità del pesce coincide con la densità del liquido che ha attorno, ossia

$d_a=d_p$

$d_a={m_p+m_{aria}\over V_p+V_{vescica}}$

$V_{vescica}={m_p+m_{aria}-d_a\cdot V_p\over d_a}$

di quest’ultima formula che abbiamo scritto la massa del pesce la conosciamo e la densità dell’acqua la conosciamo. Rimane quindi da determinare $m_{aria}$ e $V_p$ . Il volume del pesce è facile da determinare osservando che

$V_p={m_p\over d_p}$

invece per calcolare la massa dell’aria osserviamo che la spinta di Archimede deve essere uguale alla forza peso del pesce, siccome il pesce nuota orizzontalmente, quindi

$F_a=F_p$

$F_a=F_{pesce}+F_{aria}$

$F_a=F_{pesce}+m_{aria}\cdot g$

$m_{aria}={F_a-F_{pesce}\over g}$

Quindi la formula scritta in precedenza per il calcolo di $V_{vescica}$ diventerà

$V_{vescica}={m_p+{F_a-F_{pesce}\over g}-d_a\cdot {m_p\over d_p}\over d_a}$

$V_{vescica}={1,96\: kg+{20,0\: N-1,96\: kg\cdot 9,81\: N/kg\over 9,81\: N/kg}-1025\: kg/m^3\cdot {1,96\: kg\over 1060\: kg/m^3}\over 1025\: kg/m^3}\approx 0,000140\: m^3$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 100 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una squadra di sommozzatori vuole portare in superficie un’anfora di $95\: kg$ , che ha il volume di $38\: dm^3$ . La densità dell’acqua di mare è $1030\: kg/m^3$ . I sommozzatori pensano di legare l’anfora a un pallone pieno d’aria, di massa trascurabile. Quale è il volume minimo che deve avere il pallone?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che un oggetto galleggia in un fluido quando la sua densità è minore della densità del fluido. Quindi dobbiamo cercare quel valore di volume per cui la densità del sistema anfora più pallone diventa minore della densità dell’acqua di mare. Ossia

$d_{a+p}\leq d_{acqua}$

${m_{anfora}\over V_{anfora}+V_{pallone}}\leq d_{acqua}$

$(V_{anfora}+V_{pallone})\cdot{m_{anfora}\over V_{anfora}+V_{pallone}}\leq d_{acqua}\cdot (V_{anfora}+V_{pallone})$

$m_{anfora}\leq d_{acqua}\cdot V_{anfora}+d_{acqua}\cdot V_{pallone}$

$m_{anfora}- d_{acqua}\cdot V_{anfora}\leq d_{acqua}\cdot V_{pallone}$

${m_{anfora}- d_{acqua}\cdot V_{anfora}\over d_{acqua}}\leq {d_{acqua}\cdot V_{pallone}\over d_{acqua}}$

${m_{anfora}-d_{acqua}\cdot V_{anfora}\over d_{acqua}}\leq V_{pallone}$

$V_{pallone}\geq {95\: kg-1030\: kg/m^3\cdot 0,038\: m^3\over 1030\: kg/m^3}\approx 0,0542\: m^3$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 99 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Giorgio gioca al mare con una palla piena di aria (densità $1,29\: kg/m^3$ ). Il raggio della palla è $11,5\: cm$ . Il peso dell’involucro della palla è $2,9\: N$ . Determina quale forza verso il basso Giorgio deve applicare sulla palla per tenerla completamente sott’acqua (densità acqua di mare $1025\: kg/m^3$ ).

SVOLGIMENTO

Quando Giorgio tiene il pallone sott’acqua le forze che agiscono sono tre e tutte con la stessa direzione. In particolare abbiamo la forza peso e la forza di Giorgio che sono dirette verso il basso e la spinta di Archimede che si oppone a queste due forze. Pertanto

$F_p+F_G=F_a$

$F_p^{involucro}+m_{aria}\cdot g+F_G=V\cdot d_{acqua}\cdot g$

$F_p^{involucro}+V\cdot d_{aria}\cdot g+F_G=V\cdot d_{acqua}\cdot g$

$F_G=V\cdot d_{acqua}\cdot g-F_p^{involucro}-V\cdot d_{aria}\cdot g$

$F_G={4\over 3}\cdot \pi\cdot r^3\cdot g\cdot (d_{acqua}-d_{aria})-F_p^{involucro}$

$F_G={4\over 3}\cdot \pi\cdot 0,115^3\: m^3\cdot 9,81\: N/kg\cdot (1025\: kg/m^3-1,29\: kg/m^3)-2,9\: N\approx 61,1\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 98 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un cilindro di massa $100\: g$ e volume $60,5\: cm^3$ galleggia in un liquido. La sua altezza totale è $9,75\: cm$ e la sua parte immersa ha un altezza di $6,15\; cm$ . Quale è la densità del cilindro? Quale è la densità del liquido?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che il cilindro è in equilibrio, pertanto la risultante delle forze agenti sul cilindro è nulla. Sul cilindro agiscono due forze di uguale direzione, ma verso opposto, tali forze sono la forza peso e la spinta di Archimede, pertanto avremo

$F_p=F_a$

$m\cdot g=V_{imm}\cdot d_l\cdot g$

Calcoliamo pertanto inizialmente la densità del liquido

$d_l={m\over V_{imm}}={0,1\: kg\over 0,0000605\: m^3/9,75\cdot 6,15}\approx 2620\: kg/m^3$

dove osserviamo esplicitamente che il volume immerso lo abbiamo calcolato usando una semplice proporzione, infatti se l’intero volume del cilindro è $60,5\: cm^3$ allora facendo ${V\over h}$ trovo quanto è il volume di un cilindretto alto $1\: cm$ , se poi lo moltiplico per l’altezza della parte immersa nel liquido trovo il volume della parte immersa. Per calcolare la densità del cilindro utilizziamo la definizione di densità, ossia

$d={m\over V}={0,1\: kg\over 0,0000605\: m^3}\approx 1653\: kg/m^3$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 97 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una sfera di massa $m=1,2\: kg$ galleggia completamente immersa nel mercurio (densità $13600\: kg/m^3$ ). Determina il raggio della sfera.

SVOLGIMENTO

Noi sappiamo che la sfera è completamente immersa nel mercurio, quindi il volume della sfera concorre tutto per determinare la spinta di Archimede. Siccome la sfera galleggia sappiamo che

$F_a=F_p$

$V\cdot d_m\cdot g=m\cdot g$

${4\over 3}\cdot r^3\cdot \pi\cdot d_m=m$

$r=\sqrt[3]{{3\cdot m\over 4\cdot \pi\cdot d_m}}$

$r=\sqrt[3]{{3\cdot 1,2\: kg\over 4\cdot \pi\cdot 13600\: kg/m^3}}\approx 0,0276\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 96 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un bicchiere d’acqua si trova sul piatto di una bilancia da cucina. L’acqua arriva all’altezza di $8\: cm$ dal fondo. Immergi un dito nell’acqua, senza toccare il bicchiere, e l’acqua sale all’altezza di $11\: cm$ . La base del bicchiere ha l’area di $8,0\: cm^2$ . Calcola la differenza tra i valori indicati dalla bilancia prima e dopo aver immerso il dito.

SVOLGIMENTO

La bilancia misura la forza con cui il sistema bicchiere più acqua “spinge” sul fondo del bicchiere. Tale forza la possiamo calcolare facendo interagire la definizione di pressione

$p={F\over A}$