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Esercizio 44 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

Il prodotto scalare tra i vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ è uguale a $19$ e il modulo di $\vec{a}$ è $7$ .
Quanto vale la componente di $\vec{b}$ lungo $\vec{a}$ ?
Puoi determinare il modulo di $\vec{b}$ ?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che il prodotto scalare, tra i vari modi, si può anche calcolare facendo

$\vec{a}\cdot \vec{b}=a\cdot b_a$

pertanto risulta evidente che

$b_a={\vec{a}\cdot\vec{b}\over a}={19\over 7}\approx 2,7$

Per rispondere alla seconda domanda cerchiamo di ricordare cosa sia a livello matematico al proiezione di $\vec{b}$ lungo $\vec{a}$ , ma

$b_a=b\cdot \cos{\widehat{ab}}$

pertanto a livello matematico sicuramente questa equazione non si può risolvere perchè presenta due incognite completamenti indipendenti l’una dall’altra. A livello geometrico tale situazione deriva dal fatto che vettori diversi possono avere la stessa proiezione lungo $\vec{a}$ basta semplicemente “allargare” l’angolo $\widehat{ab}$ mentre si “allunga” il vettore $\vec{b}$ .

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Esercizi di fisica, Vettori e forze

Esercizio 43 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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La figura mostra i vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ . I moduli dei due vettori sono $A=5,0$ e $B=3,0$ . Il lato di ogni quadratino vale $1$ .

Calcola il modulo di $B_\perp$ . Verso dove è diretto il vettore $\vec{C}=\vec{A}\times\vec{B}$ .

SVOLGIMENTO

Per poter calcolare $B_\perp$ , cioè la componente perpendicolare del vettore $\vec{B}$ rispetto alla direzione del vettore $\vec{A}$ abbiamo la necessità di calcolare l’angolo $\widehat{AB}$ , quindi per prima cosa calcoliamo quell’angolo li.
Per calcolare questo angolo osserviamo che tale angolo è formato da un angolo di $90^\circ$ più l’angolo che il vettore $\vec{A}$ forma con l’asse orizzontale (che chiameremo $\alpha$ ). Tale angolo si può calcolare concentrandoci sul triangolo rettangolo formato dal vettore rosso come ipotenusa e i due cateti di $3$ e $4$ quadretti. Pertanto

$\tan{\alpha}={3\over 4}\Rightarrow \alpha=\tan^{-1}{3\over 4}\approx 36,9^\circ$

Da cui

$\widehat{AB}=126,9$

Una volta calcolato questo angolo la componente $B_\perp$ si calcola facendo

$B_\perp=B\cdot \sin{\widehat{AB}}=3\cdot \sin{126,9^\circ}=2,4$

Per quanto riguarda invece il verso del prodotto vettoriale ricordiamo che tale verso si può determinare utilizzando la “regola della mano destra”, quindi allineiamo il pollice al vettore $\vec{A}$ e l’indice al vettore $\vec{B}$ e il verso puntato dal dito medio sarà il verso del vettore $\vec{C}$ che in questo caso sarà ovviamente perpendicolare ai due vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ e bucherà il foglio uscendo dalla parte posteriore.

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Esercizio 42 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Il vettore $\vec{a}$ di modulo $a=13$ ha componente $a_b=9$ lungo la direzione di un secondo vettore $\vec{b}$ . Quanto vale l’angolo tra i vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ .

SVOLGIMENTO

Sappiamo che, chiamato l’angolo tra i due vettori $\widehat{ab}$ , che la componente di $\vec{a}$ lungo il vettore $\vec{b}$ si calcola facendo

$a_b=a\cdot \cos{\widehat{ab}}$

pertanto

$\cos{\widehat{ab}}={a_b\over a}\Rightarrow \widehat{ab}=\cos^{-1}{a_b\over a}$

ossia

$\widehat{ab}=\cos^{-1}{9\over 13}\approx 46,2^\circ$

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Esercizio 41 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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I vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ formano un angolo $\alpha=60^\circ$ tra loro. I moduli dei due vettori sono $A=B=6,0$ .
Calcola il prodotto scalare tra i due vettori usando la componente di $\vec{B}$ lungo $\vec{A}$ .
Calcola il prodotto scalare tra i due vettori con la formula in cui compaiono i moduli e l’angolo tra i due vettori.

SVOLGIMENTO

Facciamo un po’ di chiarezza sulle domande fatte dal problema: in generale sappiamo che il prodotto scalare tra due vettori è un numero scalare (quindi non un vettore) di valore

$\vec{A}\cdot \vec{B}=A\cdot B\cdot \cos{\widehat{AB}}$

Quindi per rispondere alla seconda domanda possiamo semplicemente utilizzare questa formula (che ripetiamo è la formula classica per il calcolo del prodotto scalare), quindi

$\vec{A}\cdot \vec{B}=6,0\cdot 6,0\cdot \cos{60^\circ}=18$

Per rispondere alla prima domanda bisogna invece pensare a cosa sia geometricamente la componente di $\vec{B}$ lungo $\vec{A}$ . Questa componente, per definizione, si calcola facendo

$B_A=B\cdot \cos{\widehat{AB}}$

pertanto risulta evidente che il prodotto scalare lo potrei anche scrivere con

$\vec{A}\cdot \vec{B}=A\cdot B\cdot \cos{\widehat{AB}}=A\cdot B_A$

Da cui

$B_A=B\cdot \cos{\widehat{AB}}=6,0\cdot \cos{60^\circ}=3$

$\vec{A}\cdot \vec{B}=A\cdot B_A=6,0\cdot 3=18$

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Esercizio 40 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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La molecola del difluoruro di ossigeno $OF_2$ è una molecola polare poichè la carica al suo interno è distribuita in maniera asimmetrica. La distanza tra il centro dell’atomo di ossigeno e il centro di ciascun atomo di fluoro è di circa $140,5\:pm$ e l’angolo formato è di $103^\circ$ .

Quanto misura la distanza tra i centri dei due atomi di fluoro?

SVOLGIMENTO

Estrapolando il problema geometrico dal suo contesto chimico la domanda potrebbe essere: calcola la base di un triangolo isoscele di lato obliquo $140,5\:pm$ e di angolo al vertice $103^\circ$ . Dalle proprietà del triangolo isoscele, ossia che l’altezza relativa alla base spezza a metà la base ed è bisettrice dell’angolo al vertice, risulta che

$d_{F-F}=2\cdot \sin{103^\circ\over 2}\cdot 140,5\:pm\approx 220\: pm$

Ricordiamo anche che il prefisso pico nelle unità di misura vuol dire $10^{-12}$ .

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Esercizio 39 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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I vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ formano un angolo $\alpha=35^\circ$ tra loro. I moduli dei due vettori sono $A=9,0$ e $B=7,0$ .
Calcola il modulo del prodotto vettoriale $\vec{A}\times\vec{B}$ .
Calcola $A_\perp$ e $B_\perp$ .

SVOLGIMENTO

Per calcolare il modulo del prodotto vettoriale dobbiamo ricordarci la formula, infatti il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore il cui verso e la cui direzione è facilmente ottenibile con la “regola della mano destra”, mentre il modulo è dato dalla formula

$\vec{A}\times\vec{B}=A\cdot B\cdot \sin{\widehat{AB}}$

quindi in questo caso

$\vec{A}\times\vec{B}=9,0\cdot 7,0\cdot \sin{35^\circ}\approx 36,1$

Per quanto riguarda la seconda domanda osserviamo subito che la domanda è quanto meno posta male, infatti dalla domanda non si riesce a determinare il sistema di riferimento nel quale bisogna determinare $A_\perp$ e $B_\perp$ . Noi rispondiamo fissando i sistemi di riferimento prima con la direzione $x$ coincidente con il vettore $\vec{A}$ , e in questo sistema calcoleremo $B_\perp$ , poi nel sistema che ha la direzione $x$ coincidente con il vettore $\vec{B}$ calcoleremo $A_\perp$ . In generale sappiamo che il modulo della componente perpendicolare di un vettore $\vec{u}$ di cui conosciamo l’angolo che forma con l’asse $x$ , ossia $\hat{ux}$ , lo possiamo calcolare con la formula

$u_\perp=u\cdot \sin{\hat{ux}}$

Per cui nella nostra situazione, con i due sistemi di riferimento scelti precedentemente, abbiamo

$A_\perp=A\cdot \sin{\widehat{AB}}=9\cdot \sin{35^\circ}\approx 5,2$

$B_\perp=B\cdot \sin{\widehat{AB}}=7\cdot \sin{35^\circ}\approx 4$

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Esercizio 38 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Un vettore di modulo pari a $4,0\: m$ forma un angolo di $30^\circ$ con una retta orizzontale.
– Calcola la componente orizzontale e quella verticale del vettore.
– Quale angolo forma con la retta verticale?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che le due componenti di un vettore, che chiameremo $\vec{u}$ , si calcolano con le due formule

$\vec{u}_x=u\cdot \cos{\hat{ux}}\cdot \hat{x}$

$\vec{u}_y=u\cdot \sin{\hat{ux}}\cdot \hat{y}$

dove ricordiamo che $\hat{x}$ e $\hat{y}$ sono rispettivamente i versori che indicano la direzione dell’asse $x$ e dell’asse $y$ , mentre $\hat{ux}$ è l’angolo formato dal vettore $\vec{u}$ con l’asse $x$ . Ricordate queste formule risulta evidente che

$\vec{u}_x=4,0\: m\cdot \cos{30^\circ}\cdot \hat{x}\approx 3,46\:m\cdot \hat{x}$

$\vec{u}_y=4,0\: m\cdot \sin{30^\circ}\cdot \hat{y}=2\:m\cdot \hat{y}$

Mentre invece l’angolo che $\vec{u}$ forma con l’asse $y$ , siccome i due assi cartesiani sono perpendicolari, sarà

$\hat{uy}=90^\circ-\hat{ux}=60^\circ$

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Esercizio 37 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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La figura mostra i vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ . Il lato di ogni quadratino vale $1$ .

Calcola il modulo del prodotto vettoriale $\vec{A}\times\vec{B}$ . Quale è il verso del vettore $\vec{C}= \vec{A}\times\vec{B}$ ?

SVOLGIMENTO

Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore del quale verso e direzione sono facili da determinare utilizzando la regola della “mano destra”, per quanto invece riguarda il modulo sappiamo che tale modulo si ricava con la formula

$A\times B=A\cdot B\cdot \sin{ \widehat{AB}}$

Dove $\widehat{AB}$ è l’angolo compreso tra il vettore $\vec{A}$ e il vettore $\vec{B}$ . Siccome conosciamo i moduli dei due vettori l’unica incognita dell’esercizio sarà quindi $\sin{ \widehat{AB}}$ , vediamo come possiamo calcolarlo. Usando le formule trigonometriche sul triangolo rettangolo che ha come ipotenusa il vettore $\vec{B}$ e come cateti due quadratini (lungo il vettore rosso $\vec{A}$ ) e tre quadratini verticalmente dalla punta del vettore $\vec{B}$ fino al vettore $\vec{A}$ , possiamo scrivere che

$3=B\cdot \sin{\widehat{AB}}=\sqrt{2^2+3^2}\cdot \sin{\widehat{AB}}$

da cui

$\sin{\widehat{AB}}={3\over \sqrt{13}}$

per cui

$A\times B=7\cdot \sqrt{13}\cdot {3\over \sqrt{13}}=7\cdot 3=21$

Per determinare il verso attraverso la regola della mano destra bisogna, utilizzando la mano destra, sovrapporre il pollice al vettore $\vec{A}$ e l’indice al vettore $\vec{B}$ , ricordiamo esplicitamente che il prodotto vettoriale non è commutativo, il verso del prodotto vettoriale è il verso del dito medio. Pertanto in questo esercizio il prodotto vettoriale sarà perpendicolare ai vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ , come sempre, ed “uscirà” dal foglio.

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Esercizio 36 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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Il vettore $\vec{u}$ (di modulo $u=6,2$ ) forma un angolo di $60^\circ$ con la direzione orizzontale.
– Scomponi $\vec{u}$ lungo la retta orizzontale $x$ e lungo la retta verticale $y$ .
– Calcola i moduli dei due vettori componenti $\vec{u}_x$ e $\vec{u}_y$ .

SVOLGIMENTO

Calcoliamo direttamente i moduli delle due componenti $\vec{u}_x$ e $\vec{u}_y$ . Per fare questo il modo normale di operare è utilizzare entrambe le funzioni trigonometriche coseno e seno nel seguente modo

$u_x=u\cdot \cos{60^\circ}=6,2\cdot \cos{60^\circ}=3,1$

$u_y=u\cdot \sin{60^\circ}=6,2\cdot \sin{60^\circ}\approx 5,4$

Naturalmente si sarebbe potuto anche utilizzare per $\vec{u}_y$ il coseno (o per $\vec{u}_x$ il seno) calcolando l’angolo complementare di $60^\circ$ e facendo

$u_y=u\cdot \cos{(90^\circ-60^\circ)}=6,2\cdot \cos{30^\circ}\approx 5,4$

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Esercizio 35 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

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La figura mostra i vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ e l’angolo $\alpha$ tra essi. I moduli dei vettori sono $A=6,3$ e $B=3,6$ . L’angolo $\alpha$ misura $38^\circ$ . Calcola il modulo del prodotto vettoriale $\vec{A}\times\vec{B}$ . Quale è il verso del vettore $\vec{C}=\vec{A}\times\vec{B}$ ?

SVOLGIMENTO

$A\times B=A\cdot B\cdot \sin{ \alpha}=6,3\cdot 3,6\cdot \sin{38^\circ}\approx 14$

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